Enunciado

uma prancha de 38 m m   x   290   m m pode ser reforçada pregando-se firmemente dois blocos de 38 m m   x   38 m m , como mostrado. Sabendo-se que σ A D M = 9,3   M P a e G = 12   G P a , determinar o maior momento que pode ser aplicado e o correspondente raio de curvatura para:

  1. A prancha original, sem reforçadores;
  2. A prancha reforçada com os blocos.

Passo 1

Nossos objetivos são dois, determinar o máximo momento e o raio de curvatura, sabemos que a fórmula da tensão é dada por:

σ x = - M y I

E sabemos que a tensão admissível é determinada da seguinte maneira.

σ A D M = 9,3   M P a = 9,3 N m m 2

E o raio da curvatura é calculado da seguinte maneira:

1 ρ = M E I

Como queremos o raio de curvatura, podemos definir como:

ρ = E I M

Como o enunciado nos deu o valor de G , precisamos determinar o valor de E , e sabemos que a relação é dada por:

E = 2 G ( 1 + ϑ )

E como sabemos que o coeficiente de Poisson varia ente 0   e   0,5 , iremos usar o meio termo para a conta, ou seja, 0,3 , sendo assim teremos que.

E = 2 G ( 1 + ϑ )

E = 2   .     12   . 1 + 0,3 = 31,2   G P a = 31200   M P a = 31200 N m m 2

E por ser um retângulo, sabemos que a LN ocorre no meio termo da seção, para o item a) e para o item b) iremos recalcular, o que já facilita a nossa vida.

E precisamos do momento de inércia e dos valores de Y, porém isso varia de acordo com a orientação da encurvatura da nossa seção, então para isso iremos dividir o cálculo.

Passo 2

Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  1. Para o item A) a encurvatura ocorre em torno da horizontal, sendo assim teremos que a nossa seção será dada por:

E sabemos que o momento de inercia será calculado por:

I = b h 3 12 = 290   .   38 3 12 = 1326073   m m 4

E para determinação do y teremos que:

Agora sabemos

σ c o m p r e s s ã o = - σ A D M = - M y + I

σ A D M = M y + I = M   .   19   m m 1326073   m m 4 = 9,3 N m m 2

M = 649078   N m m = 650   N m

E determinando a curvatura, teremos que:

ρ = E I M = 31200 N m m 2 . 1326073   m m 4 650000   [ N m m ] = 63652   m m = 63,7   m

Passo 3

Para o item b) precisamos recalcular a LN, o momento de inércia e o novo momento com reforço, sendo assim teremos que:

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN.

  • Primeiro dividir a seção em seções mais simples e numerar elas.
  • Em segundo precisamos determinar as áreas de cada uma das regiões e para isso precisamos das medidas do enunciado.
  • As áreas são:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:
  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

Com isso teremos que:

y - = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 + A 3 y - 3 A 1 + A 2 + A 3

Substituindo teremos que:

y - = 11020   .     57 + 1444   .     19 + 1444   .     19 11020 + 1444 + 1444 = 49,1   m m

E assim temos que:

Passo 4

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e com isso vamos seguir o seguinte passo a passo.

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões
    • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões
    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN
    • Momento de inércia de cada região
  • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Sendo assim teremos que:

    I = I 1 + A 1 d 1 2 + I 2 + A 2 d 2 2 + I 3 + A 3 d 3 2

    I = 1326073 + 11020   .     7,9 2 + 173761 + 1444   .     30,1 2 + 173761 + 1444   .     30,1 2

    I = 4977910   m m 4

    Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

    Passo 3

    Tendo o valor de y precisamos usar a tensão, sendo assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

σ a d m = σ c o m p r e s s ã o = - 9,3   M P a = - 9,3 N m m 2

y - = + 26,9   m m

I = 4977910   m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

- 9,3 N m m 2 = - M   .   26,9 m m 4977910     m m 4

M = 1720987   N m m = 1721   N m

E analisando agora a compressão teremos que:

σ a d m = σ t r a ç ã o = 9,3   M P a = 9,3 N m m 2

y - = - 49,1   m m

I = 4977910     m m 4

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

9,3 N m m 2 = - M   . ( - 49,1 ) m m 4977910   m m 4

M = 942863 N m m = 943   N m

Como temos as tensões admissíveis, sabemos que ao momento que podemos aplicar será o menor dos que são dados acima, além dos mais, o maior momento dos dois irá romper a menor resistência, enquanto que o menor momento, garante a menor resistência e não afeta a maior, sendo assim teremos que:

M = 943   N m

E determinando a curvatura, teremos que:

ρ = E I M = 31200 N m m 2 . 4977910   m m 4 943 000   [ N m m ] = 164699   m m = 164,7   m

Resposta

  1. M = 650   N m e ρ = 63,7   m
  2. M = 943   N m e ρ = 164,7   m
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