Enunciado

Na morsa acionada por um parafuso, um torque M aplicado à manopla do parafuso aperta a morsa aumentando a distância B D e, portanto, produzindo uma força de aperto C . O parafuso é rosqueado através da bucha articulada em D , tendo uma rosca quadrada simples com um passo (avanço por revolução) de 4 mm. Considere que não há atrito e expresse a força de aperto C , em newtons, em função do torque M , medido em newton-metros, para uma posição θ = 30 ° .

Passo 1

Utilizando o Princípio do Trabalho Virtual, se o sistema está em equilíbrio o trabalho virtual δ U total realizado pelas forças externas ativas (forças que realizam trabalho) para um deslocamento pequeno do sistema deve ser zero:

δ U = 0

Os nossos agentes externos ativos são o torque M na manopla e a força C . Devemos calcular calcular então o trabalho virtual realizado pelo momento e pela força, para um giro de angulação δ β do parafuso que causa variação pequena δ θ do ângulo θ . Depois aplicamos o Princípio do Trabalho Virtual, relacionando M e C .

Passo 2

Primeiro vamos calcular o trabalho δ U 1 realizado pela força C . O giro δ β do parafuso aumenta o tamanho de B D , e isso faz com que a altura h do ponto de aplicação de C diminua. O trabalho realizado por C é dado por

δ U 2 = C   δ h

Mas precisamos relacionar δ h com o ângulo θ , e faremos isso a partir da geometria do desenho:

Olhando o desenho, a altura h em função de θ é:

h = 200 sen ⁡ θ - 100 sen ⁡ 90 ° - θ = 200 sen ⁡ θ - 100 cos ⁡ θ

Derivando essa expressão, temos a variação infinitesimal de h :

δ h = 200 cos ⁡ θ + 100 sen ⁡ θ δ θ

Então temos o trabalho realizado por C :

δ U 1 = C   δ h = C 200 cos ⁡ θ + 100 sen ⁡ θ δ θ

Podemos substituir θ por 30 ° :

δ U 1 = C 200 cos ⁡ 30 ° + 100 sen ⁡ 30 ° δ θ = 223,2 C   δ θ

Esse valor está em mili-Joules, pois usamos os valores em milímetros. Vamos então fazer uma correção, dividindo por 1000, e aí obtemos o valor do trabalho em Joules:

δ U 1 = 0,2232 C   δ θ

Passo 3

Agora vamos calcular o trabalho realizado pelo momento na manopla. Se o giro do parafuso e da manopla é de ângulo δ β , no mesmo sentido do momento, então o trabalho é:

δ U 2 = M   δ β

Precisamos relacionar δ β com δ θ . Primeiro, vamos ver como o giro do parafuso irá aumentar o tamanho d de B D . Vamos planificar uma parte da rosca de uma volta inteira. A circunferência é de 2 π R , e a variação do comprimento é o passo L = 4   m m por revolução. Também representamos a pequena angulação δ β , que possui o tamanho do arco R δ β e a variação correspondente do comprimento δ d .

Pela semelhança de triângulos:

δ d R δ β = 4 2 π R ⇒ δ β = 2 π 4 δ d

⇒ δ β = 1,571   δ d

d deve estar em milímetros para essa expressão de δ β . Agora só falta colocar δ d em função de θ . Vamos olhar de novo pro desenho:

Primeiro vamos encontrar o tamanho c e o ângulo fixo α . Por pitágoras:

c = 125 2 + 225 2 = 66250 = 257,4  

tan ⁡ α = 225 125 = 1,8 ⇒ α = arctan ⁡ 1,8 = 60,9 °

Então o ângulo γ fica definico em função de θ :

60,9 ° + γ + θ = 180 ° ⇒ γ = 119,1 ° - θ

Derivando, o valor constante 119,1 ° desaparece e obtemos:

δ γ = - δ θ

Agora vamos olhar para o triângulo que tem lados c = 257,4 , d e 200. Temos 2 lados e 1 ângulo e queremos achar o terceiro lado. Então vamos usar a lei dos cossenos:

d 2 = 200 2 + 257,4 2 - 2 × 200 × 257,4 × cos ⁡ γ

Derivando essa expressão, temos:

2 d   δ d = 103000 sen ⁡ γ δ γ

⇒ δ d = 103000 sen ⁡ γ δ γ 2 d

Trocando δ γ por - δ θ :

δ d = - 51500 sen ⁡ γ δ θ d = - 51500 sen ⁡ γ δ θ 200 2 + 257,4 2 - 2 × 200 × 257,4 × cos ⁡ γ

Agora calculamos, sabendo que γ = 119,1 ° - 30 ° = 89,1 ° :

δ d = - 51500 sen ⁡ 89,1 ° δ θ 200 2 + 257,4 2 - 2 × 200 × 257,4 × cos ⁡ 89,1 °

δ d = - 159,2   δ θ

Essa expressão dá o valor de δ d em milímetros. Então temos finalmente o valor de δ U 2 em função de δ θ :

δ U 2 = M   δ β = 1,571 M   δ d = 1,571 - 159,2 M   δ θ

⇒ δ U 2 = - 250,1 M   δ θ

Passo 4

Pelo Princípio do Trabalho Virtual, temos então:

δ U = δ U 1 + δ U 2 = 0

⇒ 0,2232 C   δ θ - 250,1 M   δ θ = 0

⇒ 0,2232 C   δ θ = 250,1 M   δ θ

Cortando δ θ :

0,2232 C = 250,1 M

C = 250,1 M 0,2232

⇒ C = 1120 M

Resposta

C = 1120 M

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