Enunciado

O motorista do carro mantém uma velocidade escalar constante de 40     m / s . Determine a velocidade angular da câmera acompanhando o carro quando θ = 15 ° .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a velocidade angular da câmera acompanhando o carro quando θ = 15 ° . Ou seja, θ ˙ quando θ = 15 ° .

As intensidades são dadas por:

Nos é dada a equação da posição:

r = 100 cos ⁡ 2 θ

Vamos derivar essa equação dos dois lados:

d d t ( r ) = d d t ( 100 cos ⁡ 2 θ )

d r d t = - 100 2 sin ⁡ 2 θ d θ d t

r ˙ = - 200 sin ⁡ 2 θ θ ˙

Passo 2

Vamos agora aplicar θ = 15 ° :

r θ = 15 ° = 100 cos ⁡ 30 °

r θ = 15 ° = 86,60   m

r ˙ θ = 15 ° = - 200 sin ⁡ 30 ° θ ˙

r ˙ θ = 15 ° = - 100 θ ˙   m / s

Passo 3

Agora pensa comigo... A velocidade é tangente à trajetória, então ela forma um ângulo ϕ , como mostrado no diagrama abaixo:

Os valores de v r e v θ são então dados por:

v r = r ˙

v θ = r θ ˙

E de acordo com o nosso diagrama, temos que:

v r = - 40 cos ⁡ ϕ

v θ = 40 sin ⁡ ϕ

Logo:

- 40 cos ⁡ ϕ = - 100   θ ˙

40 sin ⁡ ϕ = 86,60   θ ˙

Dividindo as equações, temos:

40 sin ⁡ ϕ 40 cos ⁡ ϕ   = 86,60   θ ˙ 100   θ ˙

tan ⁡ ϕ = 86,60 100

ϕ = tan - 1 ⁡ 86,60 100

ϕ = 40,89 °

Logo:

40 sin ⁡ 40,89 ° = 86,60   θ ˙

θ ˙ = 0,3024   r a d / s

Resposta

θ ˙ = 0,3024   r a d / s

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