Enunciado

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O movimento amortecido de uma partícula que vibra e definido pelo vetor de posição r = x1(1 – 1/t(t + 1))i + (y1 e - π t / 2 cos 2 π t)j onde t e expresso em segundos. Para x1 = 30 mm e y1 = 20 mm, determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula quando (a) t = 0 e (b) t = 1,5 s.

Passo 1

E ai galera tudo certinho? O enunciado pede que a gente encontre posição, a velocidade e a aceleração da partícula quando (a) t = 0 e (b) t = 1,5 s.

Nós temos

r = 30 1 - 1 t - 1 i + 20 e - π t / 2 cos ⁡ 2 π t j

Então

v = d r d t = 30 1 ( t + 1 ) 2 i + 20 - π 2 e - π t / 2 c o s   2 π t - 2 π e - π t / 2   s i n   2 π t j

= 30 1 ( t + 1 ) 2 i - 20 π e - π t / 2 1 2 cos ⁡ 2 π t + 2 sin ⁡ 2 π t j

e

a = d v d t = - 30 2 ( t + 1 ) 3 i - 20 π - π 2 e - π t 2 1 2 cos ⁡ 2 π t + 2 sin ⁡ 2 π t + e - π t / 2 - π sin ⁡ 2 π t + 4 cos ⁡ 2 π t j

= 60 ( t + 1 ) 3 i + 10 π 2 e - π t / 2 4 sin ⁡ 2 π t - 7.5 cos ⁡ 2 π t j

Passo 2

  1. Em t = 0:
  2. r = 30 1 - 1 1 i + 20 1 j

    v = 30 1 1 i - 20 π 1 1 2 + 0 j

    a = - 60 1 i + 10 π 2   1 0 - 7.5 j

    Passo 3

  3. Em t = 1.5 s:

r = 30 1 - 1 2.5 i + 20 e - 0.75 π cos ⁡ 3 π j

= 18   m m i + - 1.8956   m m j

v = 30 ( 2.5 ) 2 i - 20 π e - 0.75 π 1 2 cos ⁡ 3 π + 0 j = 4.8   mm/s i + 2.9778   mm/s j

= - 3.84   mm/ s 2 i + 70.1582   mm/ s 2 j

Resposta

a)  r = 20   mm   ↑

v = 43.4   mm/s     46.3 °

a = 743   mm/ s 2     85.4 °

b)  r = 18.10   mm   6.01°

v = 5.65   mm/s     46.3 °

a = 70.3   mm/ s 2     86.9 °

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