Enunciado

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O movimento de uma partícula está definido pelo vetor de posição r = A(cos t + t sen t)i + A(sen t - t cos t)j, onde t e expresso em segundos. Determine os valores de t para os quais o vetor de posição e o vetor de aceleração são (a) perpendiculares e (b) paralelos.

Passo 1

E ai galera tudo certinho? O enunciado pede que a gente encontre quais o vetor de posição e o vetor de aceleração são (a) perpendiculares e (b) paralelos.

Nós temos

r = A cos ⁡ t + t sin ⁡ t i + A sin ⁡ t - t cos ⁡ t j

Então

v = d r d t = A - sin ⁡ t + sin ⁡ t + t cos ⁡ t i

+ A cos ⁡ t - cos ⁡ t + t sin ⁡ t j

= A t cos ⁡ t i + A t sin ⁡ t j

e

a = d v d t = A cos ⁡ t - t sin ⁡ t i + A sin ⁡ t + t cos ⁡ t j

Passo 2

  1. Quando r e a são perpendiculares, r a = 0
  2. A cos ⁡ t + t sin ⁡ t i + sin ⁡ t - t cos ⁡ t j ∙ A cos ⁡ t - t sin ⁡ t i + sin ⁡ t + t cos ⁡ t j = 0

    ou

    cos ⁡ t + t sin ⁡ t cos ⁡ t - t cos ⁡ t + sin ⁡ t - t cos ⁡ t sin ⁡ t + t cos ⁡ t = 0

    ou

    cos 2   t - t 2   sin 2   t + sin 2   t - t 2   cos 2   t = 0

    Passo 3

  3. Quando r e a são paralelos, r × a = 0.

A cos ⁡ t + t sin ⁡ t i + sin ⁡ t - t cos ⁡ t j ∙ A cos ⁡ t - t sin ⁡ t i + sin ⁡ t + t cos ⁡ t j = 0

ou

cos ⁡ t + t sin ⁡ t sin ⁡ t + t cos ⁡ t - sin ⁡ t - t cos ⁡ t cos ⁡ t - t sin ⁡ t k = 0

Expandindo

sin ⁡ t cos ⁡ t + t + t 2 sin ⁡ t cos ⁡ t - sin ⁡ t cos ⁡ t - t + t 2 sin ⁡ t cos ⁡ t = 0

Resposta

a)  1 - t 2 = 0             ou           t = 1   s

b) 2 t = 0             ou             t = 0

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