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Um projétil é disparado a partir do ponto A com uma velocidade inicial v0. (a) Mostre que o raio de curvatura da trajetória do projétil alcança seu valor mínimo no ponto mais alto B da trajetória. (b) Representando por o ângulo θ formado entre a trajetória e a horizontal em um dado ponto C, mostre que o raio de curvatura da trajetória em C é ρ = ρ m i n / c o s ³ θ .

Passo 1

Para o Ponto C arbitrario, nós temos

a C n & = v C 2 ρ C

ou

ρ C & = v C 2 g c o s ⁡ θ

Passo 2

Notando que o movimento horizontal é uniforme, nós temos

v A x & = v C x

onde

v A x & = v 0 c o s ⁡ α v C x = v C c o s ⁡ θ

Então

v 0 c o s ⁡ α = v C ⋅ c o s ⁡ θ

ou

v C = cos ⁡ α cos ⁡ θ v 0

de modo

ρ C = 1 g c o s ⁡ θ cos ⁡ α cos ⁡ θ v 0 2 = v 0 2 c o s 2 ⁡ α g c o s 3 ⁡ θ

Passo 3

(a)Ná expressão para   ρ C , v 0 , α   e g são constantes, de modo que ρ C é minimo onde cos ⁡ θ é maximo.

Por observação, isso ocorre no Ponto B onde θ = 0 .

ρ min  = ρ B = v 0 2 c o s 2 ⁡ α g             Q . E . D

(b)

ρ C = 1 cos 3 ⁡ θ v 0 2 c o s 2 ⁡ α g

ρ C = ρ tin  cos 3 ⁡ θ                     Q . E . D

Resposta

ρ min  = ρ B = v 0 2 c o s 2 ⁡ α g             Q . E . D

ρ C = ρ tin  cos 3 ⁡ θ                     Q . E . D

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