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O movimento vertical da plataforma de trabalho é controlado pelo movimento horizontal do pino A . Se A possui uma velocidade v 0 para a esquerda, determine a velocidade vertical v da plataforma para qualquer valor de θ .

Passo 1

Aqui é importante pensar em termos geométricos, vamos tentar escrever a altura y da plataforma em termos das grandezas que foram dadas no enunciado.

Qual é o comprimento da linha pontilhada preta vertical?

h = 2 L 2 sen ⁡ θ 2 = L sen ⁡ θ 2

E a altura total da plataforma é:

y = 2 h = 2 L sen ⁡ θ 2

Passo 2

Agora podemos derivar essa equação em relação ao tempo:

y = 2 L sen ⁡ θ 2

y ˙ = L   θ ˙ cos ⁡ θ 2

Precisamos achar alguma forma de substituir θ ˙ .

Passo 3

Vamos chamar de x a posição do suporte que se move para a esquerda com velocidade v 0 . Podemos nos basear no mesmo desenho de antes para encontrar uma equação para x :

x = L cos ⁡ θ 2

E agora derivando em relação ao tempo:

x ˙ = - v 0 = - L θ ˙ 2   sen ⁡ θ 2

v 0 = L θ ˙ 2 sen ⁡ θ 2

E agora podemos isolar a velocidade angular θ ˙ :

θ ˙ = 2 v 0 L csc ⁡ θ 2

E substituindo isso na equação anterior:

y ˙ = L   θ ˙ cos ⁡ θ 2

y ˙ = L   2 v 0 L csc ⁡ θ 2   cos ⁡ θ 2

y ˙ = v = 2 v 0 cot ⁡ θ 2

Resposta

A velocidade vertical da plataforma é v = 2 v 0 cot ⁡ θ 2 .

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