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A roda de raio r rola sem deslizar, e seu centro O possui uma velocidade constante v 0 para a direita. Determine expressões para os módulos da velocidade v e da aceleração a do ponto A sobre a borda diferenciando suas coordenadas x e y . Represente os seus resultados graficamente como vetores em seu esboço e mostre que v é a soma vetorial de dois vetores, sendo que cada um possui um módulo v 0 .

Passo 1

Vamos escrever as coordenadas do ponto A simplesmente olhando para o desenho.

x = x 0 - r cos ⁡ θ

y = r + r sen ⁡ θ

E agora, seguindo a sugestão do enunciado, vamos simplesmente derivar essas coordenadas em relação ao tempo para encontrar a velocidade e a aceleração do ponto.

Para essas derivadas vamos precisar das seguintes relações:

x 0 ˙ = v 0

r = c o n s t a n t e         ⇒         r ˙ = 0

θ ˙ = v 0 r

Passo 2

Então começamos derivando a coordenada x :

x = x 0 - r cos ⁡ θ

x ˙ = x 0 + r   θ ˙ sen ⁡ θ

x ˙ = v 0 + r v 0 r sen ⁡ θ = v 0 ( 1 + sen ⁡ θ )

E agora a coordenada y :

y = r + r sen ⁡ θ

y ˙ = r   θ ˙ cos ⁡ θ

y ˙ = v 0 cos ⁡ θ

E então o módulo da velocidade é:

v = x ˙ 2 + y ˙ 2 = v 0 1 + sen ⁡ θ 2 + v 0 cos ⁡ θ 2

v = v 0 2 + 2 v 0 2 sen ⁡ θ + v 0 2 sen 2 ⁡ θ + v 0 2 cos 2 ⁡ θ

v = v 0 2 1 + sen ⁡ θ

Passo 3

Agora precisamos derivar mais uma vez para encontrar a aceleração. Começando pela velocidade em x :

x ˙ = v 0 ( 1 + sen ⁡ θ )

x ¨ = v 0 θ ˙ cos ⁡ θ = v 0 2 r cos ⁡ θ

E agora a velocidade em y :

y ˙ = v 0 cos ⁡ θ

y ¨ = - v 0   θ ˙ sen ⁡ θ = - v 0 2 r sen ⁡ θ

E então o módulo da aceleração é:

a = x ¨ + y ¨

a = v 0 2 r cos ⁡ θ 2 + v 0 2 r sin ⁡ θ 2

a = v 0 2 r

Passo 4

Agora vamos representar tudo graficamente. Nossos vetores são:

v → = v 0 1 + sen ⁡ θ i ^ + v 0 cos ⁡ θ   j ^

a → = v 0 2 r cos ⁡ θ   i ^ - v 0 2 r sen ⁡ θ   j ^

É importante lembrar que, como a velocidade do centro de massa é constante, toda a aceleração do ponto A é centrípeta.

Agora falta mostrar que v → pode ser obtido pela soma vetorial de dois vetores de módulo v 0 . Para isso precisamos fazer um desenho:

Para mostrar que essa soma vetorial realmente pode acontecer, vamos ver as componentes x e y do vetor v → :

v x = v 0 + v 0 sen ⁡ θ = v 0 ( 1 + sen ⁡ θ )

v y = v 0 cos ⁡ θ

Que é justamente o resultado que encontramos antes!

Resposta

O módulo da velocidade é v = v 0 2 1 + sen ⁡ θ e o da aceleração é a = v 0 2 r .

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