Enunciado

A nave espacial P está na órbita elíptica mostrada. No instante representado, sua velocidade é v = 4230   m / s . Determine os valores correspondentes de r ˙ , θ ˙ , r ¨ e θ ¨ . Utilize g = 9,825   m / s 2 para a aceleração da gravidade sobre a superfície da Terra e R = 6371   k m para o raio da Terra.

Passo 1

Vamos começar dando nome a alguns ângulos na figura:

E com essa imagem já podemos encontrar uma expressão para r ˙ , pois:

r ˙ = v cos ⁡ α

E a componente tangencial (que é perpendicular ao raio r ) também tem uma expressão simples:

r θ ˙ = v sen ⁡ α

θ ˙ = v sen ⁡ α r

Então para determinar essas grandezas vamos precisar encontrar os valores de α e de r .

Passo 2

Olhando para a imagem podemos ver que t a n ⁡ ( α ) pode ser determinado a partir das características da elipse:

tan ⁡ α = 15600 x

Onde x é o semi-eixo maior da elipse menos o trecho que vai do centro da Terra até a borda mais próxima da elipse!

x = a - R T - 300

E vamos usar a fórmula para o semi-eixo maior da elipse (lembrando que o raio da Terra é 6371   k m ):

a = 33400 + 6371 + ( 300 + 6371 ) 2 = 23221   k m

E agora substituindo na equação de cima:

tan ⁡ α = 15600 x = 15600 23221 - 6371 - 300 ≅ 43,3 °

E agora falta calcular o raio r . Olhando para a figura podemos usar o teorema de pitágoras:

r 2 = 15600 2 + x 2 = 15600 2 + 23221 - 6371 - 300 2

r = 22743   k m

E então os valores de r ˙ e θ ˙ são:

r ˙ = v cos ⁡ α = 4230 cos ⁡ 43,3 ° = 3,07   . 10 3   m / s

θ ˙ = v sen ⁡ α r = 4230 sen ⁡ 43,3 ° 22743.10 3 = 1,276.10 - 4   r a d / s

Passo 3

Agora queremos calcular as acelerações r ¨ e θ ¨ . Vamos analisar as forças na direção radial:

∑ F r = m ( r ¨ - r θ ˙ 2 )

Nesse caso a única força que atua nessa direção é a gravitacional. A aceleração gerada a uma distância r do centro pode ser escrita em termos da aceleração da gravidade na superfície da Terra:

g = - G M R 2         ⇒ g ' = - G M r 2 = - g R 2 r 2

E então:

r ¨ - r θ ˙ 2 = - g R 2 r 2

r ¨ = 22743.10 3 1,276.10 - 4 2 - 9,825 6371.10 3 2 22743.10 3

r ¨ = 0,37029 - 0,77099 = - 0,401   m / s 2

Passo 4

Para calcular a aceleração na direção tangencial precisamos fazer uma coisa bem parecida com o passo 3 :

∑ F θ = m ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ )

E como não existe nenhuma força nessa direção:

0 = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

θ ¨ = - 2 r ˙ θ ˙ r = - 2 3,07.10 3 1,276.10 - 4 22743.10 3 = - 3,44.10 - 8   r a d / s 2

Resposta

r ˙ = 3,07.10 3   m / s , θ ˙ = 1,276.10 - 4   r a d / s , r ¨ = - 0,401   m / s 2 , θ ¨ = - 3,44.10 - 8   r a d / s 2 .

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