Enunciado

Um helicóptero de combate a incêndio paira sobre um lago enquanto o seu recipiente de água é imerso e cheio. Este em seguida sobe um pouco, tira o recipiente do lago, e começa o seu vôo essencialmente a partir do repouso com uma aceleração horizontal a 0 . Obtenha uma expressão para o ãngulo θ para o qual θ ˙ é máximo. Também determine a tração T no cabo como uma função de θ .

Passo 1

Vamos começar pensando na aceleração tangencial que age sobre o balde. Se estivermos analisando tudo em relação ao helicóptero vamos chegar na seguinte equação:

∑ F ' t = - m g sen ⁡ θ

Onde o sinal negativo aparece porque o peso age no sentido de reduzir o ângulo θ .

Mas como o helicóptero também tem uma aceleração a 0 precisamos adotar um referencial inercial e acrescentar a 0 nessa conta. A componente de a 0 na direção tangencial é:

a h t = a 0 cos ⁡ θ

E então a nossa soma no referencial inercial é:

∑ F t = - m g sen ⁡ θ + m a 0 cos ⁡ θ = m r θ ¨

θ ¨ = 1 r a 0 cos ⁡ θ - g sen ⁡ θ

Vamos ver o que conseguimos fazer com essa fórmula.

Passo 2

Nosso primeiro objetivo é maximizar a função θ ˙ . Você deve lembrar que um método bastante eficaz de encontrar o máximo de uma função é justamente encontrar os pontos em que sua derivada é zero:

d d t θ ˙ = θ ¨ = 0

E usando a nossa fórmula de cima:

1 r a 0 cos ⁡ θ - g sen ⁡ θ = 0

a 0 cos ⁡ θ = g sen ⁡ θ

tan ⁡ θ = a 0 g

E esse é o ângulo em que a velocidade angular é máxima (podemos garantir que não é um mínimo porque a derivada segunda é necessariamente negativa).

Passo 3

Vamos analisar as forças na direção do cabo (normal) para encontrar a tração no fio:

∑ F n = T - m g cos ⁡ θ - m a 0 sen ⁡ θ = m r θ ˙ 2

T = m ( g cos ⁡ θ + a 0 sen ⁡ θ + r θ ˙ 2 )

E o único termo que não conhecemos nesse fórmula é θ ˙ 2 . Vamos aproveitar a fórmula que descobrimos ali em cima:

θ ¨ = 1 r a 0 cos ⁡ θ - g sen ⁡ θ

E pela regra da cadeia:

θ ¨ = d θ ˙ d t = d θ ˙ d θ d θ d t = θ ˙ d θ ˙ d θ

Então:

1 r a 0 cos ⁡ θ - g sen ⁡ θ = θ ˙ d θ ˙ d θ

1 r a 0 cos ⁡ θ - g sen ⁡ θ   d θ = θ ˙ d θ ˙

Agora vamos integrar os dois lados, fazendo θ variar de θ = 0 até um θ qualquer, e o mesmo para θ ˙ :

∫ 0 θ ˙ θ ˙ d θ ˙ = ∫ 0 θ 1 r a 0 cos ⁡ θ - g sen ⁡ θ   d θ

θ ˙ 2 2 = 1 r a o sen ⁡ θ + g cos ⁡ θ - g

θ ˙ 2 = 2 r a 0 sen ⁡ θ + g cos ⁡ θ - 1

Passo 4

Agora vamos substituir isso na equação que tínhamos montado para a tensão no fio:

T = m ( g cos ⁡ θ + a 0 sen ⁡ θ + r θ ˙ 2 )

T = m ( g cos ⁡ θ + a 0 sen ⁡ θ + 2 a 0 sen ⁡ θ + g cos ⁡ θ - 1 )

E agora é só reorganizar um pouco:

T = m g cos ⁡ θ + m a o sen ⁡ θ + 2 m a 0 sen ⁡ θ + 2 m g cos ⁡ θ - 2 m g

T = m 3 a 0 sen ⁡ θ + 3 g cos ⁡ θ - 2 g

Resposta

A velocidade angular é máxima quando tan ⁡ θ = a o g e a tração no fio é T = m 3 a 0 sen ⁡ θ + 3 g cos ⁡ θ - 2 g .

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