Enunciado

Originalmente, o cabo de ancoragem AB de uma estrutura de edifício não está esticado. Devido a um terremoto, as duas colunas da estrutura inclinam-se até um ângulo θ = 2º. Determine a deformação normal aproximada do cabo quando a estrutura estiver nessa posição. Considere que as colunas são rígidas e giram ao redor de seus apoios inferiores.

Passo 1

Olá, querido! Cê tá bem? Então, ele quer saber a deformação normal de A B se as colunas rotacionarem 2 ° em relação aos seus apoios, algo assim:

Olhando a figura a gente deve perceber que B , por estar mais afastado das bases, sofrerá um deslocamento maior do que A .

Bem, a fórmulinha da deformação normal é

ϵ = L A ' B - L A B L A B

Onde L A B é o comprimento inicial do cabo A B e L A B ' é comprimento depois da rotação. Então para achar a deformação a gente precisa achar essas duas coisinhas.

A ideia aqui é usar alguns conhecimentos de geometria para achar esses caras e daí achar a deformação. Bora ver como!

Passo 2

Vamos começar achando o comprimento L A B . Da figura a gente cosegue tirar esse triânguo retângulo:

Ele é um triângulo 3/4/5, então temos que L A B = 5   m . Cê poderia chegar nesse resultado usando Pitagoras também, tá?

Passo 3

Agora vamos achar o comprimento do cabo deformado A ' B ' . Aqui a gente vai achar a projeção desse cabo na hozizontal Δ x e depois achar a projeção dele na vertical Δ y . Aí para achar o comprimento do cabo mesmo, a gente faz:

L A B ' = Δ y 2 + Δ x 2

Vamos olhar nossa figura novamente:

A gente tem que Δ x e Δ y podem ser escritos em função dos deslocamentos do ponto A e do ponto B , como colocamos na figura. Os pilares não mudam de tamanho, por isso a distância entre um ponto e a base do seu pilar permanece a mesma.

Vamos olhar para o ponto B .

x b vai ser a projeção do pilar inclinado até B ' na horizontal. Como o ângulo está oposto ao eixo horizontal, a gente vai usar o seno aqui

x b = 4 ⋅ s e n ( 2 ° )

y b vai ser os 4   m menos a projeção da coluna na vertical

y b = 4 - 4 cos ⁡ 2 °

Passo 4

Agora olhando para A :

Daí a gente tira que x a é a projeção da coluna até A ' na horizontal:

x a = 1   s e n   ( 2 ° )  

E para y a

y a = 1 - 1 cos ⁡ 2 °

Passo 5

Aí a gente consegue achar Δ x e Δ y . Vimos antes que eles valem:

Δ y = 3 - y b + y a

Δ x = x b + 4 - x a

Substituindo o que a gente achou e calculando:

Δ y = 3 - 4 - 4 cos ⁡ 2 ° + 1 - 1 cos ⁡ 2 °

Δ y = 2,99 82

E na horizontal:

Δ x = 4 ⋅ s e n ( 2 ° ) + 4 - 1   s e n   ( 2 ° )  

Δ x = 4,1047

Aí o comprimento novo do cabo é

L A B ' = Δ y 2 + Δ x 2

L A B ' = 2,9982 2 + 4,1047 2

L A B ' = 5,0827   m

Passo 6

Podemos agora utilizar os comprimentos iniciais e finais para determinarmos a deformação:

ϵ = L A ' B - L A B L A B

ϵ = 5,0827 - 5 5

ϵ = 16,8 × 10 - 3

Resposta

ϵ = 16,8 × 10 - 3

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