Enunciado

O parafuso de aço com 10   mm de diâmetro está embutido em uma luva de bronze. O diâmetro externo dessa luva é 20   mm e seu diâmetro interno é 10   mm . Se o parafuso for submetido a uma força de compressão P = 20   kN , determine a tensão normal média no aço e no bronze. E a ç o = 200   GPa , E b r = 100   GPa .

Passo 1

Faaaalaa, tá bem?

Um parafuso está dentro de uma luva (um cilindro vazado) que conecta dois apoios. O conjunto todo está sendo forçado nas extremidades. Então uma parte dessa carga é resistida pela luva e outra pelo parafuso.

Características do parafuso:

  • Diâmetro: d p = 10   mm . (Cilindro)
  • Aço A- 36 : E p = 200   GPa. (Tabelado)

Características da luva:

  • Diâmetro interno: d l i = 10   mm . Diâmetro externo: d l e = 20   mm . (Cilindro vazado)
  • Bronze: E l = 100   GPa   .   (Tabelado)

A força aplicada nas extremidades é P = 20   kN .

Nós queremos descobrir a tensão no parafuso σ p e a tensão na luva σ l . A fórmula da tensão é

σ = F A

Já temos como calcular as áreas, então só nos falta achar as forças internas em cada peça

Passo 2

Vamos ver como as forças internas aparecem, montando o diagrama de corpo livre para uma seção do conjunto:

Lembre-se que a luva é um cilindro vazado, então aquele F l é pra representar a força em toda a luva.

Fazendo o equilíbrio de forças:

∑ F = 0 → F l + F P = P

Duas incógnitas, mas apenas uma equação. Precisamos de mais uma!

Passo 3

Então, a gente pode pensar na equação de compatibilidade de deslocamento.

O nosso conjunto luva+corpo do parafuso está entre a cabeça do parafuso e a porca. A gente considera que essas duas coisas são rígidas, ou seja, não se deformam.

Como a cabeça do parafuso é rígida e a força é aplicada em seu centro, todos os pontos da cabeça desse parafuso descem igualmente por causa da carga. E o mesmo acontece para a porca, todos pontos dela sobem igualemente, conforme o corpo do parafuso e a luva se deformam.

Aí isso diz para gente que conjunto todo tem que comprimir o mesmo tamanho! Então o encurtamente do corpo do parafuso é igual ao encurtamente da luva:

δ l =   δ p

Passo 4

Usando a fórmulinha da relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

Substituindo ela na nossa equação da compatibilidade:

F l   L A l   E l = F p   L A p   E p

Simplificando a nossa equação:

F l   A l   E l = F p   A p   E p

Pronto, agora se substituirmos os valores, vamos achar uma relação entre F l e F p .

A área do parafuso é

A p = π d p 2 4 = 78,54   mm 2

A área da luva é

A l = π ( d l e 2 - d l i 2 ) / 4 = 235,62   mm 2

Susbtituindo isso e os outros dados:

F l   A l   E l = F p   A p   E p

F l   235,62   mm 2   100   G P a = F p   L 78,54   mm 2   200   G P a

Simplificando, chegamos em

F l = 1,5 F p

Essa é a nossa segunda equação!

Passo 5

Agora é resolver o sisteminha e achar as forças que a gente precisa!

Substituindo o F l encontrado na primeira equação, que veio do balanço de forças:

F l + F P = P

1,5   F p + F p = 20   kN

F p = 8   kN

E aí voltando na relação entre forças que saiu a compatibilidade, usando esse valor de F p :

F l = 1,5 F p

F l = 12   kN

Passo 6

Agora é usar a fórmulinha da tensão normal média em cada material:

σ = F A

Para o corpo do parafuso:

σ p = F p A p = 101,86   M p a

E para a luva:

σ l = F l A l = 50,93   MPa

Resposta

Tensão no parafuso: σ p = 101,86   MPa . Tensão na luva: σ l = 50,93   MPa

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