Enunciado

O parafuso de aço com 10   mm de diâmetro está embutido em uma luva de bronze. O diâmetro externo dessa luva é 20   mm e seu diâmetro interno é 10   mm . Se a tensão de escoamento para o aço for σ e a ç o = 640   MPa e para o bronze σ e l a t = 520   MPa , determine o valor da maior carga elástica P que pode ser aplicada ao conjunto.

E a ç o = 200   GPa , E b r = 100   GPa .

Passo 1

Um parafuso está dentro de uma luva (um cilindro vazado) que conecta dois apoios. O conjunto todo está sendo forçado nas extremidades.

Características do parafuso:

  • Diâmetro: d p = 10   mm . (Cilindro)
  • Aço A- 36 : E p = 200   GPa,  σ e a ç o = 640   MPa .

Características da luva:

  • Diâmetro interno: d l i = 10   mm . Diâmetro externo: d l e = 20   mm . (Cilindro vazado)
  • Bronze: E l = 100   GPa   ,   σ e l a t = 520   MPa ,

O forçamento é um valor desconhecido P , em compressão.

Nós queremos descobrir o maior valor que o carregamento P pode assumir sem que nem a luva nem o parafuso escoem. Então, o que limita esse problema é que a tensão σ l na luva tem que ser no máximo 520   MPa ou a tensão no aço σ a ç o no máximo 640   MPa .

Passo 2

Diagrama de corpo livre para uma seção.

Lembre-se que a luva é um cilindro vazado, então aquele F l é pra representar a força em toda a luva (a posição horizontal do vetor não importa aqui).

Equilíbrio de forças:

∑ F = 0 → F l + F P = P

Duas incógnitas, mas apenas uma equação. A condição de compatibilidade deve nos fornecer outra.

Passo 3

Como a luva é totalmente contida pelo parafuso e a porca, o conjunto todo tem que comprimir o mesmo tamanho! Então

δ l =   δ p

Queremos trabalhar direto com tensões, porque temos que compará-las com as tensões de escoamento. Use a fórmula da relação carga-deslocamento e a fórmula da tensão:

δ = F   L A   E             e             σ = F A

F l   L A l   E l = F p   L A p   E p → σ l   E l = σ p E p

A relação entre tensões fica: σ l = 0.5 σ p

Passo 4

Agora precisamos determinar qual material escoa primeiro. Confira pela última relação.

Caso 1: usando σ p = σ e a ç o = 640   MPa teríamos σ l = 320   MPa < σ e l a t . Parafuso escoa primeiro!

Caso 2: usando σ l = σ e l a t = 520   MPa teríamos σ a ç o = 1280   MPa >   σ a d m a ç o . Parafuso escoa primeiro!

O parafuso sempre escoa primeiro nesse problema. Isso significa que a força máxima que P pode assumir é aquela que provoca escoamento do parafuso: causa σ p = σ e a ç o = 640   MPa.

Passo 5

Sabemos a tensão máxima que pode ocorrer no parafuso e a área dele, então pela fórmula da tensão temos a força interna no parafuso:

σ p = F p A p → F p = 640   MPa ⋅ π   10 2 4 mm 2 = 50,265   kN

Obtemos a força na luva a partir de

σ l = 0.5 σ p → F l π ( 20 2 - 10 2 ) / 4 = 0,5 ⋅ 640   MPa

F l = 75,398   kN  

Passo 6

Volte à equação do equilíbrio de forças F l + F P = P para obter

P = 125,663   kN

Resposta

Carga: P = 125,663   kN

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