Responde Aí

Enunciado

Uma partícula de 2 kg desloca-se ao longo de uma trajetória lisa horizontal definida por

r = 1 4 t 3 + 2   m ,     θ = t 2 4   r a d

Onde t é dado em segundos. Determine as componentes da força radial e transversal exercidas sobre a partícula quando t = 2 s.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa da partícula: m = 2 kg

Trajetória no plano horizontal;

Coordenadas polares.

Como a trajetória está no plano horizontal, a coordenada em z será desprezada pois não afetará o cálculo do problema. Desenhando o diagrama de corpo livre da partícula, temos:

Sabemos que a trajetória do movimento é descrita por:

r = 1 4 t 3 + 2   m

θ = t 2 4   r a d

A partir desses dados, devemos determinar as componentes da força radial F r e da força transversal F θ sobre a partícula quando t = 2 s.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais de r ( r ˙ e r ¨ ):

r ˙ = d r d t = 3 4 t 2   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = 3 2 t   m / s 2

Em seguida encontraremos as derivadas temporais de θ ( θ ˙ e θ ¨ ):

θ ˙ = d θ d t = 1 2 t   r a d / s

θ ¨ = d 2 θ d t 2 = 1 2   r a d / s 2

Passo 3

Substituindo t = 2 s nas equações encontradas, temos que

r = 1 4 t 3 + 2   = 4   m

r ˙ = 3   m / s

r ¨ = 3   m / s 2

θ = t 2 4 = 1   r a d

θ ˙ = t = 1   r a d / s

θ ¨ = 0,5   r a d / s 2

Passo 4

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo, em t = 2

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 3 - 4 1 2 = - 1   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 4 0,5 + 2 3 1 = 8   m / s 2

O sinal negativo de a r nos diz que esta aceleração está atuando no sentindo oposto ao qual desenhamos no diagrama de corpo livre.

Passo 5

Agora aplicaremos as Equações do Movimento para resolver o problema.

Analisando primeiramente no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

F r = 2 - 1 = - 2   N

O sinal negativo de F r nos diz que a força está atuando no sentindo oposto ao qual desenhamos no diagrama de corpo livre.

Analisando no eixo θ , temos

∑ F θ = m a θ

F θ = 2 8 = 16   N

Resposta

F r = - 2   N

F θ = 16   N

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