Enunciado

A partícula lisa tem massa de 80 g. Ela está ligada a uma corda elástica estendendo-se de O a P e, devido ao braço de guia ranhurado, desloca-se ao longo da trajetória circular na horizontal r = 0,8 sen ⁡ θ   m .   Se a corda tem rigidez de   k = 30 N/m e comprimento não deformado de 0,25 m, determine a força do braço sobre a partícula quando θ = 60 ° . O braço tem velocidade angular constante de θ ˙ = 5 rad/s.

Passo 1

O Problema nos deu as seguintes informações:

Massa da partícula: m = 80   g = 0,08   k g

Rigidez da corda: k = 30 N/m

Comprimento não deformado da corda: l 0 = 0,25 m

Velocidade angular constante: θ ˙ = 5 rad/s

Trajetória circular na horizontal.

A questão pede para determinarmos a força que o braço exerce sobre a partícula quando θ = 60 ° .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde F é a força exercida pelo braço,   N é a força normal e F s é a força exercida pela corda sobre a partícula.

Lembre-se de que a força normal é perpendicular à tangente do movimento. Como o movimento corresponde à um circulo de raio 0,4 m, a direção de N será a mesma do raio deste círculo.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais.

Em r :

r = 0,8 sen ⁡ θ   m

r ˙ = d r d t = 0,8 θ ˙ cos ⁡ θ m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 0,8 θ ˙ 2 sen ⁡ θ + 0,8 θ ¨ cos ⁡ θ   m / s 2

Para θ = 60 ° :

θ ˙ = 5   r a d / s

θ ¨ = 0   r a d / s 2

r = 0,693   m

r ˙ = 2   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 17,32   m / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 17,32 - 0,693 ( 5 2 ) = - 34,65   m / s 2

a θ = 0,693 0 + 2 ( 2 ) ( 5 ) = 20   m / s 2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal é aplicada à partícula.

Pela análise trigonométrica do seguinte triângulo, vemos que se trata de um triângulo isósceles onde β e α são os ângulos de base.

β = α

Através da imagem fornecida pelo enunciado, vemos que

β = 90 ° - θ

Portanto, para θ = 60 ° , temos que β = 30 ° = α .

Passo 5

A força elástica exercida é dada por

F s = k ∆ l

O comprimento final da corda l é igual ao valor de r quando θ = 60 ° . Portanto, temos que

F s = k ∆ l = k r - l 0

F s = 30 0,693 - 0,25

F s = 13,29   N

Passo 6

Aplicaremos as Equações do Movimento.

No eixo r :

∑ F r = m a r

- F s + N cos ⁡ α = m a r

N = 0,08 - 34,65   + 13,29 cos ⁡ 30 °

N = 12,1 N

No eixo θ :

∑ F θ = m a θ

F - N sen ⁡ α = m a θ

F = 0,08 20   + 12,1 sen ⁡ 30 °

F = 7,67 N

Resposta

F = 7,67 N

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