Enunciado

Um garoto parado firmemente em pé gira a garota sentada em um ‘prato’ circular ou trenó em uma trajetória circular de raio r 0 = 3 m de tal maneira que sua velocidade angular é θ ˙ 0 = 0,1 rad/s. Se o cabo de conexão O C é puxado para dentro de tal maneira que a coordenada radial r varia com uma velocidade constante de r ˙ = - 0,5 m/s, determine a tração que ele exerce sobre o trenó no instante que r = 2 m. O trenó e a garota têm massa total de 50 kg. Despreze a dimensão da garota e do trenó e os efeitos do atrito entre o trenó e o gelo. Dica: primeiro, demonstre que a equação do movimento na direção θ resulta em

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ = 1 r d d t r 2 θ ˙ = 0

Quando integrado, r 2 θ ˙ = C , onde a constante C é determinada a partir dos dados do problema.

Passo 1

O Problema nos deu as seguintes informações:

Massa total: m = 50   k g

Trajetória circular de raio inicial: r 0 = 3 m

Velocidade angular: θ ˙ 0 = 0,1 rad/s

Velocidade constante em r : r ˙ = - 0,5 m/s

A questão pede para determinarmos a tração que o cabo O C exerce sobre o trenó no instante que r = 2 m.

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde W = m g é a força peso e g = 9,81   m / s 2 ,   N é a força normal e T é a força exercida pelo cabo O C .

Passo 2

O enunciado nos dá a dica de iniciar pela demonstração de

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ = 1 r d d t r 2 θ ˙ = 0

Sabemos que

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Podemos dizer que r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ é igual a seguinte derivada:

r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 1 r d r 2 θ ˙ d t

Aplicando a Equação do Movimento em θ , temos que

∑ F θ = m a θ

0 = m r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0

Logo,

r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 1 r d r 2 θ ˙ d t = 0

d r 2 θ ˙ d t = 0

Integrando está equação, obtemos

∫ d r 2 θ ˙ d t = C

Onde C é uma constante qualquer.

O enunciado nos informa que, quando integrado, r 2 θ ˙ = C .

Passo 3

Agora iremos substituir valores das condições iniciais na relação r 2 θ ˙ = C .

Temos que, para r = r 0 = 3   m , θ ˙ = θ ˙ 0 = 0,1   r a d / s . Logo,

( 3 ) 2 ( 0,1 ) = C = 0,9

A questão pede para resolvermos o problema para r = 2 m. Logo, temos que

( 2 ) 2 θ ˙ = C = 0,9

θ ˙ = 0,9 4 = 0,225   r a d / s

Para r = 2 m , também sabemos que r ˙ = - 0,5 m/s e é constante. Portanto, r ¨ = 0   m / s 2 .

Passo 4

Agora temos dados suficientes para encontrar a r .

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a r = 0 - 2 0,225 2 = - 0,10125   m / s 2

Passo 5

Em seguida, devemos encontrar o valor do âgulo α que T faz com o eixo r quando r = 2 m.

Analisando a geometria da figura fornecida, temos que

tan ⁡ α = 1 2

α = 26,57 °

Passo 6

Aplicaremos as Equações do Movimento no eixo r .

∑ F r = m a r

- T cos ⁡ α = m a r

T = - 50 - 0,10125 cos ⁡ 26,57 °

T = 5,66 N

Resposta

T = 5,66   N

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