Enunciado

Uma partícula se move ao longo da curva y = x - ( x 2 / 400 ) , se a componente da velocidade em x(vx) permanece constante e igual a 2m/s, determinar as intensidades da velocidade e aceleração quando x=20m.

Passo 1

Como temos a equação que nos dá a posição da partícula no plano, podemos derivá-la para encontrar uma nova equação que nos dará a velocidade no plano, já que a velocidade é equivalente a primeira derivada da função posição. Logo:

y ' = x ' - 2 x 200 . x '

Então:

v y = v x - x 200 . v x

Aplicando os valores de x e vx iguais a 20m e 2m/s, respectivamente.

v y = 2 - 20 200 . 2

v y = 1,8 m / s

Passo 2

De forma análoga a anterior, podemos derivar a função posição pela segunda vez e encontrar a função que nos dá a aceleração da partícula no plano. Logo:

y ' ' = x ' ' - 1 200 . ( x ' 2 + x . x ' ' )

Então

a y = a x - 1 200 . ( v x ² + x . a x )

Aplicando os valores de x e vx iguais a 20m e 2m/s, respectivamente, e sabendo que a componente da aceleração em x é nula, pelo fato de vx ser constante, temos que.

a y = 0 - 1 200 . ( 2 ² + 20 * 0 )

a y = 4 200 = 0,02 m / s ²

Passo 3

Agora que calculamos os valores das componentes vy e ay, podemos calcular as intensidades da velocidade e aceleração da partícula, uma vez que essas intensidades se dão pela raiz quadrada da soma dos quadrados de sua componentes em x e y. Assim:

v = v x 2 + v y ²

v = 2 2 + 1,8 ²

v = 2,69 m / s

Analogamente:

a = a x 2 + a y ²

a = 0 ² + 0,02 ²

a = 0,02 m / s ²

Resposta

Quando x é igual a 20m, a intensidade da velocidade da partícula é de 2,69m/s, enquanto que a intensidade da aceleração da partícula corresponde a 0,02m/s², que é o equivalende a aceleração na direção y, pelo fato de que a partícula tenha uma velocidade constante em x, e, consequentemente, sua componente de aceleração seja nula.

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