Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares, escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar o máximo momento fletor.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos C e D . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se):

Como só existe uma força em x então nem precisamos fazer nenhuma conta C x = 0 .

Já para y temos:

∑ F y = 0

∑ F y = C y - ( 1500 ⋅ 4 ) + D y = 0

C y + D y = 6000   N

Agora calma aí!! Antes de ir e calcular o momento para achar D y a gente pode ver que esse carregamento todo é simétrico logo C y = D y . Assim,

C y = D y = 6000 2 = 3000   N

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento, nesse caso será:

w x = 1500

Carregamento constante e igual a 1500. Esse foi tranquilo né?

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ w x ⋅ d x

V x = - ∫ 1500 ⋅ d x

V x = - 1500 x + k

Aqui é importante notar que a constante k é igual à força de reação em C e D . Mas a gente tem que lembrar que a reação em C ocorre apenas em x = 0,8   m assim como a de D ocorre em x = 3,2   m , logo:

k = 3000 ⋅ x - 0,8 0 + 3000 ⋅ x - 3,2 0

V x = - 1500 x + 3000 ⋅ x - 0,8 0 + 3000 ⋅ x - 3,2 0

Passo 5

Para achar o momento fletor basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x ⋅ d x

M x = ∫ - 1500 x + 3000 ⋅ x - 0,8 0 + 3000 ⋅ x - 3,2 0 ⋅ d x

M x = - 750 x 2 + 3000 ⋅ x - 0,8 1 + 3000 ⋅ x - 3,2 1 + k

A constante k é igual a qualquer momento puro, que somente existe em B portanto pode ser ignorado:

k = 0

M x = - 750 x 2 + 3000 ⋅ x - 0,8 1 + 3000 ⋅ x - 3,2 1

Passo 6

Como a gente tem um problema simétrico o ponto médio será o ponto de maior momento fletor x = 2   m

M x = - 750 x 2 + 3000 ⋅ x - 0,8 1 + 3000 ⋅ x - 3,2 1

M m á x = - 750 ( 2 ) 2 + 3000 ⋅ ( 2 - 0,8 ) 1 + 0

M m á x = - 600   N ⋅ m

Gente, aqui a gente pode colocar só o valor do momento fletor em módulo ok. O sinal negativo só serve para indicar se a tensão é trativa ou compressiva e não precisamos disso agora.

Resposta

a)

V x = - 1500 x + 3000 ⋅ x - 0,8 0 + 3000 ⋅ x - 3,2 0

M x = - 750 x 2 + 3000 ⋅ x - 0,8 1 + 3000 ⋅ x - 3,2 1

b)

M m á x = 600   N ⋅ m

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