Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares, escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar o máximo momento fletor.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos C e D . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se). Vamos representar B x e B y as componentes das reações em B e C y a componente da reação em C.

Como só existe uma força em x então nem precisamos fazer nenhuma conta B x = 0 .

Já para y temos:

∑ F y = 0

∑ F y = - 15 + C y - 30 - 30 + B y = 0

A y + B y = 75   k N

Agora vamos calcular o momento n ponto C (vamos utilizar C porque vamos acabar com a incógnita C y ):

∑ M C = 0

∑ M C = - 15 × 1,0 + 30 × 1,2 + 30 × 2,4 - B y × 3,6 = 0

B y = 25,83   N

Logo substituindo na equação anterior:

C y = 75 - 25,83 = 49,17   N

Passo 3

Agora o importante é achar a função singular que define o carregamento, nesse caso será:

w x = 0

w 0 é nulo porque não há carregamentos distribuídos!!

Passo 4

Agora a gente vai integrar essa função em x de modo a achar o vetor cortante V :

V x = - ∫ 0   d x

V x = + C

Agora a gente tem que achar a constante C , que vai ser igual às forças pontuais aplicadas:

C = - 15 + 49,17 × x - 1,0 0 - 30 × x - 1,2 0 - 30 × x - 2,4 0

V x = - 15 + 49,17 × x - 1,0 0 - 30 × x - 1,2 0 - 30 × x - 2,4 0

Passo 5

Para achar o momento fletor basta que a gente integre novamente =D

M x = ∫ V x d x

M x = ∫ - 15 + 49,17 × x - 1,0 0 - 30 × x - 1,2 0 - 30 × x - 2,4 0   d x

M x = - 15 x + 49,17 × x - 1,0 1 - 30 × x - 1,2 1 - 30 × x - 2,4 1 + C

A constante C é igual a qualquer momento puro que não existe em nenhum ponto logo:

C = 0

M x = - 15 x + 49,17 × x - 1,0 1 - 30 × x - 1,2 1 - 30 × x - 2,4 1

Passo 6

Agora para achar o ponto de máximo momento fletor a gente tem que perceber que os carregamentos todos aumentam (até o ponto E).

Sendo assim o máximo momento fletor é exatamente em E: x = 3,4 m :

M x = - 15 x + 49,17 × x - 1,0 1 - 30 × x - 1,2 1 - 30 × x - 2,4 1

M m á x = - 15 × 3,4 + 49,17 × ( 3,4 - 1,0 ) - 30 × ( 3,4 - 1,2 ) - 30 × ( 3,4 - 2,4 )

M m á x = - 28,992   N ⋅ m

Lembre-se que o que importa é o módulo então não precisamos nos preocupar com o valor negativo =D

Resposta

a)

V x = - 15 + 49,17 × x - 1,0 0 - 30 × x - 1,2 0 - 30 × x - 2,4 0

M x = - 15 x + 49,17 × x - 1,0 1 - 30 × x - 1,2 1 - 30 × x - 2,4 1

b)

M m á x = - 28,992   N ⋅ m

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