Enunciado

Resolver o Prob. 6.27, usando o círculo de Mohr.

Uma força vertical de 18 k N é aplicada no ponto A da barra A B , que é soldada a um tubo de alumínio extrudado de espessura uniforme de 6   m m . Determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento no: (b) ponto K

Passo 1

Algo muito importante antes de partir para as continhas, é definir melhor nossos eixos coordenados. É interessante colocar o eixo x como normal à nossa seção. Vamos fazer assim:

Nesse tipo de questão com esforços combinados, a primeira coisa a fazer é substituirmos essa força por um sistema de forças e momentos equivalentes, aplicados no centróide da seção que passa por K e H .

Isso vai representar os esforços internos nessa seção, que a gente vai usar para calcular as tensões. Temos essas componentes, em relação esse novo sistema de coordenadas:

- Cortante:

V y = - 18   000   N

- Torção:

M x = T = 18000 ⋅ 0,1 = 1800   N ⋅ m

- Momentos:

M z = - 18000 ⋅ 0,12 = - 2160   N ⋅ m

Passo 2

Bora calcular as propriedades geométricas da seção transversal:

c z = - 0,025   m

c y = 0

A = 0,1 ⋅ 0,05 - 0,1 - 0,012 0,05 - 0,012 = 0,001656   m 2

A m = ( 0,05 - 0.006 ) ( 0.1 - 0.006 ) = 0,0041 36   m 2

I z = 0,05 ⋅ 0,1 3 12 - 0,05 - 0,012 ⋅ 0,1 - 0,012 3 12 = 2,00867 ⋅ 10 - 6   m 4

I y = 0,05 3 ⋅ 0,1 12 - 0,05 - 0,012 3 ⋅ 0,1 - 0,012 12 = 6,39272 ⋅ 10 - 7   m 4

Passo 3

Agora é aplicar nossas fórmulinhas de tensão para o ponto K . O momento em z não gera tensão porque o ponto está na linha neutra da seção em relação a ele.

A nossa torção vai gerar um cisalhamento no plano x y , dado por:

τ x y 1 = T 2 t A m

Como t = 0,006   m :

τ x y 1 = 1800   2 ⋅ 0,006 ⋅ 0,0041 36 = 3 6 , 27   M P a

O cortante vai gerar cisalhamento também nesse plano, no sentido oposto, e vale:

τ x y = V y Q I z t

Para a parte da seção acima do eixo K - K :

A k = A 2 = 0,000828   m 2

y - k = 2 6 ⋅ 50 25 + 38 ⋅ 6 47 2 6 ⋅ 50 + 38 ⋅ 6 ⋅ 10 - 3 = 0,03105   m

Q = A k y - k =   2,7516 ⋅ 10 - 5   m 3

A expessura da seção é: t = 2 ⋅ 0,006 = 0,012   m . Aí fica:

τ x y = 18 000 ⋅ 2,7516 ⋅ 10 - 5 2,00867 ⋅ 10 - 6 ⋅ 0,0 12

τ x y 2 = 20,55   M P a

Como as tensões estão em sentidos opostos, a gente faz a diferença entre elas:

τ x y = 3 6 , 27 - 20,55 = 15 , 72   M P a  

Passo 4

Agora é usar o círculo de Mohr para descobrir as tensões principais e a de cisalhamento máxima. Como o nosso cisalhamento está no plano x y , esse vai ser nosso plano. Para desenhar ele, precisamos dos pontos:

X = σ x ,   τ x y = 0   , + 15 , 72  

Y = σ y ,   - τ x y = 0 ,   - 15 , 72  

Repara que a tensão para Y vai ser a negativa, porque a tensão cisalhante na face perpendicular a esse eixo vai tender a girar o elemento no sentido anti-horário.

σ m é d i o = σ x + σ y 2 = 0

C = σ m é d i o , 0 = 0,0

Aí ele fica assim:

Passo 5

Daí a gente tira umas relaçõezinhas bonitinhas:

R = τ x y ∴ R = 15 , 72   M P a

E nossas tensões principais ficam:

σ m á x = σ m é d i a + R = 15 , 72   M P a

σ m í n = σ m é d i a - R = - 15 , 72   M P a

E a de cisalhamento:

τ m á x = R = 15 , 72   M P a

Resposta

σ m á x = 15 , 72   M P a

σ m í n = - 15 , 72   M P a

τ m á x = 15 , 72   M P a

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