Enunciado

Pede-se: (a) Para a viga com o carregamento mostrado e usando funções singulares,escrever as equações que definem as curvas do diagrama de força cortante e de momento fletor; (b) determinar o máximo momento fletor da viga.

Passo 1

Agora a gente vai resolver os problemas com a utilização de funções singulares, mas o que é isso? Olha a função abaixo:

V x = x 2 + x - a 2

Esse é uma função normal, correto? Mas imagina que eu quero fazer o seguinte: Ignorar o segundo termo quando x < a . Nós podemos fazer escrevendo:

V x = x 2 + { x - a } 2

Dessa forma vamos admitir duas hipóteses:

Quando x < a a função fica:

V x = x 2

Quando x ≥ a a função fica:

V x = x 2 + x - a 2

Legal né? É essa propriedade que vamos utilizar neste problema.

Passo 2

Vamos calcular as reações nos pontos A e B . Para isso vamos fazer o somatório das forças em y igual a zero (é um problema de estática, lembre-se):

∑ F y = 0

A y - P - P + B y = 0

A y + B y = 2 P

Como existe apenas uma força em x essa força é nula, logo A x = 0 . Podemos partir para o somatório do momento:

∑ M A = 0

Considerando o eixo positivo horário vamos ter:

P a + P 2 a - B y 4 a = 0

B y = 3 P 4

Logo,

A y = 2 P - 3 P 4 = 5 P 4

Passo 3

Pessoal aqui vamos colocar direto a equação da força cortante e você vai ver como é simples quando existem apenas forças pontuais:

V x = A y - P x - a 0 - P x - 2 a 0

Vou explicar cada termo com calma. Entre os pontos x = 0 e x = a existirá apenas um termo ( A y ) isso porque a cortante será igual à própria força de reação em A .

Quando a < x < 2 a então vamos ter que a força cortante será igual a:

V x = A y - P

O termo x - a 0 representa que a força P irá aparecer influenciando a cortante apenas quando x > a .

Por fim quando x ≥ 2 a vamos ter:

V x = A y - P - P = A y - 2 P

Como a gente sabe o valor de A y podemos substituir e achar, na forma geral:

V x = 5 P 4 - P x - a 0 - P x - 2 a 0

Passo 4

Para achar o momento basta que a gente integre V ( x ) :

M x = ∫ V x ⋅ d x

M x = ∫ 5 P 4 - P x - a 0 - P x - 2 a 0 ⋅ d x

M x = 5 P 4 x - P x - a 1 - P x - 2 a 1 + C

Tranquilo né? A gente só tem que saber quem é a constante C . Essa constante tem o valor igual ao do momento puro aplicado na barra, mas como não existe momento puro nesse caso então:

C = 0

Logo,

M x = 5 P 4 x - P x - a 1 - P x - 2 a 1

Passo 5

Para achar o ponto onde o momento é máximo a gente precisa zerar a força cortante e achar o ponto x onde isso acontece

V x = 0

V x = 5 P 4 - P x - a 0 - P x - 2 a 0 = 0

Pessoal, vamos ter que criar 3 hipóteses. Uma quando x < a outra quando a ≤ x < 2 a e outra quando x ≥ 2 a .

  1. x < a
  2. V x = 5 P 4

    Claramente não é possível termos V x = 0 , correto?

  3. a ≤ x < 2 a
  4. V x = 5 P 4 - P = 1 4 P

    Aqui também não é possível!

  5. x ≥ 2 a

V x = 5 P 4 - P - P = - 3 P 4

Ixiii e agora? Deu ruim? Não existem nenhum ponto com V x = 0 ?

Claro que existe, perceba que entre 2 e 3 o sinal de V ( x ) mudou? Então necessariamente ocorreu um ponto onde a força cortante era zero, e esse ponto ocorre exatamente em x = 2 a , pois logo antes desse ponto V ( x ) era positivo e logo após V x passou a ser negativo.

Passo 6

Com isso vamos substituir x = 2 a na equação do momento fletor:

M x = 5 P 4 x - P x - a 1 - P x - 2 a 1

Como x ≥ 2 a então todos os termos entram na conta!

M x = 5 P 4 x - P ( x - a ) - P ( x - 2 a )

M 2 a = 5 P 4 2 a - P ( 2 a - a ) - P ( 2 a - 2 a )

M 2 a = 5 P 2 a - P ( a )

M 2 a = 5 P a 2 - P a

M 2 a = 3 P a 2

M m á x = 3 P a 2

Resposta

a)

V x = 5 P 4 - P x - a 0 - P x - 2 a 0

M x = 5 P 4 x - P x - a 1 - P x - 2 a 1

b)

M m á x = 3 P a 2

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