Enunciado

Duas placas de cobertura, cada uma com 12,7   m m de espessura, são soldadas a uma viga de perfil W 530 × 92 , como mostrado. Sabendo-se que σ a d m = 140   M P a , determinar: (a) a largura necessária b das placas; (b) o necessário comprimento l das placas..

Passo 1

Fala aí, pessoal!!!

Para resolver esse problema e achar o comprimento b mínima e o comprimento l da seção a gente vai ter que calcular o módulo resistente da seção composta.

Depois disso a gente vai calcular o momento fletor no ponto centro da viga e através da seguinte relação vamos conseguir encontrar a nossa tensão:

σ = M W

Passo 2

Vamos achar o módulo resistente da seção W , que é dado pelo momento de inércia I dividido pela maior distância c que se pode achar entre a linha neutra e a superfície.

W = I c

Mas a gente tem que reparar que é uma figura composta, é o perfil W   530 × 92 mais as duas placas de cobertura. Se a gente for lá na tabela de perfis de abas largas vamos encontrar que o módulo de resistência desse perfil é:

I = 554 × 10 6   m m 4

I = 554 × 10 - 6   m 3

Além disso vamos precisar também da altura da viga:

d = 533   m m

d = 0,533   m

A gente pegou esses valores para que possamos calcular o módulo resistente da viga com as duas placas soldadas, como essas placas são retangulares podemos calcular o momento de inércia como:

I b a r r a = 1 12 b h 3

Então para cada barra vamos ter:

I b a r r a = 1 12 b 0,0127 3

I b a r r a = 1,71 b × 10 - 7   m 3

Aplicando o teorema dos eixos paralelos podemos obter o momento de inércia da viga com as coberturas. Lembrando que o teorema dos eixos paralelos diz que:

I = I 0 + A d 2

I = I v i g a + 2 × ( I b a r r a + A d 2 )

Onde a área A é a área de cada barra e a distância d é a distância entre o centro da viga até o centro da barra:

d = 0,533 2 + 0,0127 2 = 0,273   m

I = 554 × 10 - 6   + 2 × ( 1,71 b × 10 - 7 + b × 0,0127 × 0,273 2 )

I = 554 × 10 - 6 + 1,89 b × 10 - 3   m 4

Show! Esse é o momento de inércia da nossa viga composta. Agora para achar o módulo de resistência W basta dividir por c , sendo que c é a distância do centro da viga até a superfície da barra:

c = 0,533 2 + 0,0127 = 0,279   m  

Portanto, vamos ter:

W = I c

W = 554 × 10 - 6 + 1,89 b × 10 - 3 0,279

W = 1,99 × 10 - 3 + 6,77 b × 10 - 3   m 3

Passo 3

Agora vamos calcular o momento fletor máximo que esta viga suporta. Para isso que tal fazermos um desenho simplificado dessa viga?

Já podemos perceber que a força B x é nula porque é a única força em x . Agora vamos partir para o omatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - 120 × 6 + B y = 0

A y + B y = 720

Como a viga possui um carregamento simétrico então os termos A y e B y serão iguais:

A y = B y = 360   k N

Além disso, o momento fletor no ponto médio da barra será igual a:

M = 120 × 3 × 3 2

M = 540   k N . m

Passo 4

Agora para calcular a máxima tensão normal a gente tem que lembrar que essa tensão máxima sempre ocorre no ponto mais superficial da viga, e é calculada como:

σ = M W

Substituindo os valores que achamos:

140 × 10 6 = 540 × 10 3 1,99 × 10 - 3 + 6,77 b × 10 - 3

1,99 + 6,77 b = 540 140

b = 276   m m

Passo 5

Para achar o comprimento l vamos calcular o momento fletor num ponto x da barra:

M = 120   .   x . x 2

M = 60 x 2

Agora vamos substituir esse valor na nossa equação.

Passo 6

σ = M W

Aqui é importante lembrarmos que a cobertura não existe, logo temos de utilizar o módulo resistente da viga sozinha, que é dado pela tabela:

W = 2080 × 10 3   m m 3

W = 2080 × 10 - 6   m 3

Fazendo as substituições:

160 × 10 6 = 60 x 2 × 10 3 2080 × 10 - 6

6 0 x 2 × 10 3 = 160 × 10 6 × 2080 × 10 - 6

x 2 = 160 × 2080 60 × 10 3

x 2 = 5,55

x = 2,36   m

Lembre-se que não queremos x queremos l , podemos achar l como:

l 2 + x = 6

l 2 + 2,36 = 6

l 2 = 3,64

l = 7,29   m

Resposta

a)

b = 276   m m

b)

l = 7,29   m

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