Enunciado

Uma pequena esfera B de massa m é liberada do repouso na posição mostrada na figura e oscila livremente em um plano vertical, primeiro em torno do ponto O e em seguida em torno do pino A , depois que a corda entra em contato com o pino. Determine a tração na corda (a) logo antes dela entrar em contato com o pino, (b) logo após dela entrar em contato com o pino.

Passo 1

Vamos lá! Como estamos em um capítulo que trabalha com trabalho e energia, vamos utilizar esta metodologia para resolver esta questão!

Mas, não é por isto que não devemos identificar as forças do nosso problema e construir um diagrama de corpo livre. Inclusive, este ponto é fundamental para entendermos a sacada do problema!

Por que a tração na corda vai mudar ao entrar em contato com o pino em A??? Vamos entender este ponto agora após fazermos o diagrama de corpo livre de uma esfera em trajetória circular! Sendo assim, temos:

Passo 2

Após fazermos o diagrama de corpo livre, vamos fazer o somatório das forças na direção normal. Desta forma, temos:

∑ F n = m a n

T - W sen ⁡ θ = m v 2 l

T = m g sen ⁡ θ + m v 2 l

Esta relação é a mesma para o caso em que a corda não está em contato com o pino e está em contato com o pino.

Mas qual é a diferença? Bom, a massa é a mesma. A velocidade também (a gravidade nem precisamos comentar não é). O ângulo θ é 30°.

Até aqui é tudo o mesmo! E afinal, qual a diferença???

Bom, a diferença é o último parâmetro que não comentamos, o raio de curvatura l . Antes de entrar em contato com o pino A , o raio é l 1 = 0,8   m . Após entrar em contato, o raio de curvatura é l 2 = 0,4   m .

Passo 3

Agora que entendemos a diferença entre cada caso, podemos calcular a tração na corda!

Mas, antes disto, vamos calcular a velocidade da esfera logo antes de entrar em contato com o pino. Para isto, vamos ter de utilizar a metodologia de trabalho e energia.

Como a esfera parte do repouso e atinge uma velocidade v , a energia cinética é:

T 1 = 0

T 2 = m v 2 2

Já para o trabalho, consideramos apenas a força peso, visto que a tração na corda é perpendicular a trajetória da esfera. Portanto,

U 1 → 2 = - m g Δ h = m g l 1 sen ⁡ 30 °

Portanto, pelo princípio de trabalho e energia, temos:

T 1 + U 1 → 2 = T 2

0 + m g l 1 sen ⁡ 30 ° = m v 2 2

v 2 = 2 g l 1 sen ⁡ 30 °

Passo 4

Agora sim podemos calcular as trações na corda. Para a letra a), antes de entrar em contato com o pino A , temos:

T = m g sen ⁡ 30 ° + m v 2 l 1

T = m g sen ⁡ 30 ° + m 2 g l 1 sen ⁡ 30 ° l 1

T = 3 2 m g

Já para a letra b), após entrar em contato com o pino A , temos:

T = m g sen ⁡ 30 ° + m v 2 l 2

T = m g sen ⁡ 30 ° + m 2 g l 1 sen ⁡ 30 ° l 2

T = 1 2 m g + 0,8 ⋅ m g 0 , 4 = 5 2 m g

E assim finalizamos a questão!

Resposta

  1. T = 3 2 m g

T = 5 2 m g

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