Enunciado

A alavanca O A de 5,5   k g com 250   m m de raio de giração em relação a O está inicialmente em repouso na posição vertical ( θ = 90 ° ), onde a mola anexa de rigidez k = 525   N / m está sem deformação. Calcule o momento constante M aplicado à alavanca através de seu eixo em O que dará à alavanca uma velocidade angular ω = 4   r a d / s quando a alavanca atingir a posição horizontal θ = 0 ° .

Passo 1

Vamos aplicar a lei de conservação de energia, considerando que o sistema recebe um trabalho W aplicado pelo momento M :

E 0 + W = E f

No estado inicial (em que θ = 90 ° ), a mola está sem deformação, e a alavanca está em repouso, portanto a única energia que o sistema tem é potencial gravitacional da alavanca:

E 0 = V g

E 0 = m g h = 5,5 9,81 0,200 = 10,791   J

Onde 0,200   m é a altura do centro de massa G em relação à altura do ponto O .

Quando tivermos θ = 0 ° , a energia potencial gravitacional da alavanca será nula, pois G estará na altura do ponto O . Então teremos apenas as seguintes energias:

E f = T a l a v + V e l

Onde T a l a v é a energia cinética de rotação da alavanca em torno do ponto O , e V e l é a energia potencial elástica da mola deformada.

Passo 2

Precisamos determinar as expressões para essas duas energias:

T a l a v = 1 2 I ω 2

T a l a v = 1 2 m k - 2 ω 2 = 1 2 5,5 0,250 2 4 2 = 2,75   J

E para a energia potencial elástica da mola:

V e l = 1 2 k Δ L 2

Agora precisamos determinar a variação do comprimento da mola. O comprimento inicial era:

L 0 = 0,375 sen ⁡ 45 ° = 0,530   m

E o comprimento final é:

L f = 0,375 + 0,375 = 0,750   m

Então:

V e l = 1 2 k Δ L 2

V e l = 1 2 525 0,750 - 0,530 2 = 12,7   J

Passo 3

Agora vamos voltar à nossa equação de conservação de energia:

E 0 + W = E f

V g + W = T a l a v + V e l

10,791 + W = 2,75 + 12,7

W = 4,66   J

E como esse trabalho foi realizado por um momento M , que provocou um deslocamento angular Δ θ = 90 ° = π / 2 :

W = M Δ θ

M = 4,66 ( π / 2 ) = 2,96   N ∙ m

Resposta

O momento aplicado à alavanca deve ser M = 2,96   N ∙ m .

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