Enunciado

O disco uniforme de 6   k g gira livremente em relação a um eixo horizontal através de O . Uma barra esbelta de 2   k g é fixada ao disco conforme indicado. Se o sistema é levemente deslocado do repouso enquanto está na posição mostrada, determine a sua velocidade angular ω após ter girado de 180 ° .

Passo 1

Vamos começar fazendo um esquema do movimento antes e depois da rotação de 180 ° :

Como o sistema parte do repouso, o que acontece aqui é uma conversão de energia potencial gravitacional em energia cinética de rotação.

Δ V G + Δ T = 0

Passo 2

Vamos encontrar uma expressão para a variação de energia potencial gravitacional.

O centro de massa do disco permanece parado, mas o centro de massa da barra é deslocado por uma altura 2 h , então:

Δ h b a r r a = - 2 h

E olhando para o desenho, sabendo que s = 0,200   m , podemos calcular o valor de h :

h = 0,200 sen ⁡ 30 ° = 0,100   m

Ou seja:

Δ V g = m g - 2 0,100 = - 2 9,81 0,2 = - 3,924   J

Passo 3

E agora precisamos de uma expressão para a energia cinética de rotação do sistema:

Δ T = 1 2 I O ω 2

Já que a velocidade angular ω em torno do ponto O é a mesma para o sistema inteiro. Vamos calcular esse momento de inércia:

I O = I d i s c o + I b a r r a

I d i s c o = 1 2 m r 2 = 1 2 6 0,200 2 = 0,120   k g ∙ m 2

E para o momento de inércia da barra, em relação ao centro do disco, vamos precisar do teorema dos eixos paralelos:

I b a r r a = I c m + m h 2

I b a r r a = 1 12 m L 2 + m h 2 = m L 2 12 + h 2

E podemos calcular o comprimento L a partir do nosso desenho:

L = 2 0,200 cos ⁡ 30 ° = 0,346   m

Então:

I b a r r a = 2 0,346 2 12 + 0,100 2 = 0 , 0 4   k g ∙ m 2

I O = I d i s c o + I b a r r a

I O = 0,12 0 + 0 , 04 0 = 0 , 160   k g ∙ m 2

Agora podemos substituir na nossa expressão para a energia cinética:

Δ T = 1 2 0 , 160 ω 2

Passo 4

Por fim, vamos voltar na nossa lei de conservação da energia:

Δ V G + Δ T = 0

- 3,924 + 0 , 160 2 ω 2 = 0

ω = 3,924 0,08

ω = 7,00   r a d / s

Resposta

A velocidade angular será ω = 7,00   r a d / s .

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