Enunciado

Uma placa plana uniforme de massa m na forma de um quadrante circular de raio r está fixada ao aro de massa desprezível na posição indicada. Se o aro e o quadrante são liberados a partir do repouso nessa posição sobre uma superfície horizontal e rolam sem deslizar, determine a força de atrito inicial F .

Passo 1

Vamos começar encontrando o momento de inércia do sistema em relação ao centro de massa.

Como o aro tem massa desprezível, o centro de massa do sistema é simplesmente o centro de massa do quadrante circular:

Então vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I O = I c m + m r - 2

O momento I O é tabelado, e queremos descobrir I c m :

I c m = I O + m r - 2

I O = 1 2 m r 2 - m r - 2

E r - também é tabelado:

I O = 1 2 m r 2 - m 4 2 r 3 π 2

I O = 1 2 - 16 2 9 π 2 m r 2

I O = 0,1397   m r 2

Passo 2

Agora vamos montar equações que nos deem as forças que agem sobre o aro. Mas primeiro precisamos de um diagrama:

Começamos com uma equação para os momentos em relação ao centro de massa:

∑ M G = I - α

E as forças que produzem momento em relação a esse ponto são N , F e m g :

∑ M G = N r - cos ⁡ 45 ° - F r + r - sen ⁡ 45 °

∑ M G = N 4 2 r 3 π cos ⁡ 45 ° - F r + 4 2 r 3 π cos ⁡ 45 °

E lembrando que cos ⁡ 45 ° = 1 / 2 :

4 r 3 π N - 4 r 3 π + r F = I - α

4 r 3 π N - 4 r 3 π + r F = 0,1397   m r 2 α

Essa é nossa primeira equação.

Passo 3

Agora vamos usar a segunda lei de Newton para determinar novas equações:

∑ F x = m a - x

A única força que age nessa direção é a força de atrito F :

∑ F x = F

E a componente a - x da aceleração nessa direção?

Temos a aceleração associada ao movimento de translação do centro de massa do sistema, somada à componente aceleração angular associado à rotação do centro de massa em torno do ponto O .

m a - x = m r α + m r - α cos ⁡ 45 °

m a - x = m r α + m 4 2 r 3 π α cos ⁡ 45 °

m a - x = m r α 1 + 4 3 π

E então:

F = m r α 1 + 4 3 π

Passo 4

E precisamos fazer a mesma coisa para a direção vertical:

∑ F y = m a - y

E as forças que agem nessa direção são N e m g :

∑ F y = N - m g

E a aceleração do centro de massa só tem a seguinte componente nessa direção (dê uma olhada no desenho do passo anterior):

a - y = - r - α sen ⁡ 45 °

Então:

N - m g = - m r - α sen ⁡ 45 °

N - m g = - 4 3 π m r α  

Passo 5

Agora ficamos com um sistema de três equações:

N - m g = - 4 3 π m r α   F = m r α 1 + 4 3 π 4 r 3 π N - 4 r 3 π + r F = 0,1397   m r 2 α

E nosso objetivo é resolver esses sistema para encontrar F . Vamos simplificar algumas coisas:

N = m - 4 3 π r α + g   F = m r α 1 + 4 3 π 4 r 3 π N - 4 r 3 π + r F = 0,1397   m r 2 α

Substituindo a primeira e a segunda na terceira:

4 r 3 π m - 4 3 π r α + g   - 4 r 3 π + r m r α 1 + 4 3 π = 0,1397   m r 2 α

Vamos dividir tudo por m r :

4 3 π - 4 3 π r α + g   - 4 r 3 π + r α + 4 α 3 π = 0,1397   r α

E agora vamos “abrir” todos esses parênteses:

- 16 9 π 2 r α + 4 g 3 π - 4 3 π r α - 16 9 π 2 r α - r α - 4 3 π r α = 0,1397   r α

E já podemos somar alguns termos:

32 9 π 2 + 8 3 π + 1 + 0,1397 r α = 4 g 3 π

α = 0,1807 g r

Agora podemos substituir isso na segunda equação do sistema para encontrar F :

F = m r α 1 + 4 3 π

F = m r 0,1807 g r 1 + 4 3 π

F = 0,1807 m g 1 + 4 3 π

F = 0,257   m g

Resposta

A força de atrito inicial é F = 0,257   m g .

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