Enunciado

A placa quadrada fina está suspensa por uma cavidade (não mostrada) que se encaixa na pequena esfera de fixação em O . Se a placa é levada a oscilar em torno do eixo A - A , determine o período para pequenas oscilações. Despreze o pequeno deslocamento, massa, e atrito da esfera.

Passo 1

Vamos começar montando uma equação de momentos em relação ao eixo A - A :

∑ M A A = I A A θ ¨

A única força que gera momento em relação a esse eixo é o peso, que age no centro de massa da placa, a uma distância b / 2 do eixo.

∑ M A A = - m g sen ⁡ θ b 2

Lembre sempre do sinal negativo, pois o momento favorece o retorno ao ponto de equilíbrio, onde θ = 0 ° .

Passo 2

Agora vamos olhar para o outro lado da equação, o momento de inércia I A A pode ser calculado com o teorema dos eixos paralelos:

I A A = I c m + m d 2

I A A = 1 12 m b 2 + m b 2 2

I A A = 1 12 + 1 4 m b 2 = 1 3 m b 2

Agora vamos substituir tudo na equação principal:

∑ M A A = I A A θ ¨

- m g sen ⁡ θ b 2 = 1 3 m b 2 θ ¨

Para pequenas oscilações podemos aproximar sen ⁡ θ ≅ θ :

- m g b 2 θ = m b 2 3 θ ¨

θ ¨ + 3 g 2 b θ = 0

E o termo que multiplica θ é o quadrado da frequência natural de oscilação, então:

ω n = 3 g 2 b

Então o período é:

τ = 2 π ω n = 2 π 2 b 3 g  

Resposta

O período de pequenas oscilações é 2 π 2 b 3 g .

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