Enunciado

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Para uma placa rígida em rotação em torno do centro de massa, mostre que o sistema de forças efetivas consiste de vetores - Δ m i ω 2 r i ' e Δ m i α × r i ' ligados às várias partículas Pi da placa, onde ω e α são a velocidade angular e a aceleração angular da placa, e onde r i ' representa a posição da partícula Pi em relação ao seu centro de massa G. Mostre também, calculando sua soma e a soma de seus momentos em relação a G, que as forças efetivas se reduzem a um binário I - α .

Passo 1

Fala ai pessoal tudo belezinha? O enunciado pede para que a gente mostre também, calculando sua soma e a soma de seus momentos em relação a G, que as forças efetivas se reduzem a um binário I - α .

Para rotação centroide:

a i = a i i + a i n = α × r i ' - ω 2 r i '

Passo 2

As forças eficazes são:

Δ m i a i = Δ m i α × r i - ∆ m i ω 2 r i ' Δ m i α × r i

Σ Δ m i a i = Σ Δ m i α × r i ' - Σ Δ m i ω 2 r i '

= α × Σ Δ m i r i ' - ω 2 Σ Δ m i r i '

Passo 3

Uma vez que G é o centro mestre,

Σ Δ m i r i ' = 0

as forças efetivas se reduzem a um par, momentos sobre G

Σ r i ' × ∆ m i a i = Σ r i ' × ∆ m i α × r i ' - Σ r i ' × ∆ m i ω 2 r i '

r i ' × ∆ m i ω 2 r i ' = ω 2 Δ m i r i ' × r i ' = 0

r i ' × ∆ m i α × r i ' = ∆ m i r i ' 2 α

Passo 4

Portanto,

Σ r i ' × ∆ m i a i = Σ Δ m i r i 2 α = Σ Δ m i r i ' 2 α

Desde

Σ Δ m r i ' 2 = I - ,

o momento do casal é I - α

Resposta

Σ Δ m r i ' 2 = I - ,

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