Enunciado

A placa semicircular de espessura uniforme possui uma massa de 70   k g é levantada a partir do repouso pelo mecanismo de hastes paralelas de peso desprezível sob a ação de um momento M de 600   N m aplicado à extremidade da haste. Calcule as componentes normal e tangencial a A B do cortante suportado pelo pino em A logo apóso o omento M ser aplicado.

Passo 1

Vamos começar representando no desenho as direções tangencial e normal:

E nosso objetivo é calcular as duas componentes A n e A t da força em A .

Vamos começar olhando apenas para a haste A B . Quando a placa está prestes a perder o contato com o chão, o momento total sobre a haste é nulo:

∑ M = 0

Isso vale para qualquer ponto de referência, mas vamos usar o ponto A , para que possamos calcular a componente B t na outra ponta.

Em relação a A , temos o momento da componente tangencial B t e o momento M que foi dado no enunciado, atuando em sentidos opostos:

∑ M A = B t 0,750 - 600 = 0

B t = 600 0,750 = 800   N

E agora podemos aplicar a segunda lei de Newton sobre a haste na direção tangencial. As únicas forças que agem nessa direção são A t e B t , então:

∑ F t = 0

A t - B t = 0

A t = B t = 800   N

Da mesma forma, podemos aplicar essa equação sobre a direção normal para encontrar que:

A n = B n

Vamos precisar dessa relação mais tarde.

Passo 2

Agora vamos olhar para a placa. Precisamos calcular sua aceleração na direção tangencial. As únicas forças que atuam sobre a placa nessa direção são B t e uma componente da força peso:

∑ F t = m a t

B t - m g cos ⁡ 30 ° = m a t

800 - 70 9,81 cos ⁡ 30 ° = 70 a t

a t = 2,93   f t / s 2

Passo 3

E se aplicarmos uma equação de momentos sobre a placa, poderemos calcular B n , que é igual ao A n que queremos calcular:

Olhando para o desenho, podemos ver o segunite:

d 2 = 0,250 + 0,250 sen ⁡ 60 ° = 0,433   m

d 3 = 0,250 + 0,250 cos ⁡ 60 ° = 0,250   m

E d 1 pode ser calculado consultando uma tabela para a posição do centro de massa de uma placa semicircular:

d 1 = r - = 4 r 3 π = 4 0,5 3 π = 2 3 π = 0,212   m

Então podemos calcular os momentos de todas essas forças em relação ao ponto C :

∑ M C = B t d 3 + B n d 2 - P d 1

∑ M C = 800 0,250 + B n 0,433 - ( 70 ) ( 9,81 ) ( 0,212 )

∑ M C = 0,433 B n + 54,4

Passo 4

E essa soma de momentos deve ser igual ao momento da força resultante agindo no centro de massa.

O módulo da força é:

F = m a = 70 2,93 = 205,1   N

E podemos calcular componentes dessa força nas direções vertical e horizontal, e então fica fácil calcular o momento:

M C = 0,250 F x + d 1 F y

M C = 0,250 205,1 cos ⁡ 6 0 ° + ( 0,212 ) ( 205,1 sen ⁡ 6 0 ° )

M C = 63,3   N m

E então:

M C = ∑ M C

63,3 = 0,433 B n + 54,4

B n = 63,3 - 54,4 0,433 ≅ 21   N

E como vimos antes:

A n = B n = 21,0   N

Resposta

As componentes são A n = 21,0   N e A t = 800   N .

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