Enunciado

O dispositivo apresentado consiste em uma estrutura vertical a na qual estão livremente articulados um setor dentado em O e uma engrenagem e um ponteiro vinculados em C. Sob a ação de uma aceleração horizontal constante a para a direita, o setor sofre um deslocamento angular no sentido horário, obrigando, assim, o ponteiro a registrar um ângulo θ constante no sentido anti-horário a partir da posição de aceleração nula em θ = 0 . Determine a aceleração correspondente a um ângulo θ .

Passo 1

Bom, vamos considerar um pequeno deslocamento do setor para a direita por conta da aceleração dada no enunciado, dessa forma, haverá um deslocamento angular do centro de massa do setor em relação ao ponto O, vamos chamar esse ângulo de β . Vamos então aplicar a equação da resultante dos momentos sobre o centro de massa G:

∑ M G = m a d

Passo 2

O único momento atuando na peça é a gravidade, nossa equação então se escreve como:

- m g r - s e n - β = m a r - c o s β

O lado direito é o próprio momento da força peso, o sinal do ângulo é invertido por conta de ser um ângulo obtuso formado em relação ao braço de alavanca. Pelo fato da função seno ser ímpar, o sinal da função pode ir para fora, e ficamos com:

m g r - s e n β = m a r - c o s β

E o lado esquerdo é a distancia após o pequeno deslocamento, por isso o cosseno, já que a aceleração produz um deslocamento angular, é necessário escrever a distancia multiplicada pelo cosseno do ângulo.

Isolando a aceleração, ficamos com:

a = g   t g β

Passo 3

E então podemos escrever o ângulo θ em termos do ângulo β como sendo a igualdade entre os comprimentos dos arcos de cada peça:

R θ θ = R β β

θ = 120 c m 20 c m β = 6 β

Onde 120cm é o raio do setor e 20cm é o raio da engrenagem.

Passo 4

Finalmente substituindo na equação do Passo 3:

a = g   t g θ / 6

Que é a aceleração em relação ao ângulo θ

Resposta

a = g   t g θ / 6

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