Enunciado

Uma plataforma espacial encontra-se em uma órbita circular ao redor da Terra a uma altitude de 300   k m . Quando a plataforma passa por A , um foguete carregando um satélite de comunicação é lançado da plataforma com uma velocidade relativa de intensidade de 3,44   k m / s em uma direção tangente à órbita da plataforma. A intenção era colocar o foguete em uma órbita de transferência elíptica, levando-o ao ponto B , onde o foguete seria novamente acionado a fim de pôr o satélite em uma órbita geoestacionária de raio de 42.140   k m . Após o lançamento, descobriu-se que a velocidade relativa fornecida ao foguete havia sido grande demais. Determine o ângulo γ no qual o foguete cruzará a órbita pretendida no ponto C .

Passo 1

Oi, pessoal!! Tudo bem com vocês?

O problema pede que seja determinado o ângulo γ no qual o foguete cruzará a órbita pretendida no ponto C . O enunciado e a figura nos fornecem as seguintes informações:

h A = 300   k m = 300 × 10 3   m

v A r e l = 3,44   k m / s = 3,44 × 10 3   m / s

r B = r C = 42140   k m = 42140 × 10 3   m

R T = 6370   k m = 6370 × 10 3   m

Em posse da altitude do ponto A e do raio da Terra, podemos calcular r A :

r A = h A + R T

r A = 300 × 10 3 + 6370 × 10 3  

r A = 6670 × 10 3   m

Sabemos que,

F = m a

Conforme a Eq. 12.28:

F = G M m r 2

Então,

G M m r 2 = m a

Sabendo que, para um satélite em órbita circular,

a = v c i r c 2 r

Temos que,

G M m r 2 = m v c i r c 2 r

v c i r c 2 = G M r

v c i r c = G M r

Passo 2

O produto G M , pode ser expresso conforme a Eq. 12,29:

G M = g R T 2

E sendo

g = 9,81   m / s 2

R T = 6370 × 10 3   m

Substituímos os valores na equação para obtermos G M :

G M = 9,81 6370 × 10 3 2

G M = 398,1 × 10 12   m 3 / s 2

Velocidade no ponto A:

Para encontrar v A , precisamos primeiro encontrar v A c i r c . Como já sabemos a equação, isso vai ser moleza!

v c i r c = G M r A

Substituindo os valores que obtivemos anteriormente:

v A c i r c = 398,1 × 10 12 6670 × 10 3

v A c i r c = 7,726 × 10 3   m / s

Agora só substituir em:

v A = v A c i r c + v A r e l

v A = 7,726 × 10 3 + 3,44 × 10 3

v A = 11165   m / s

Passo 3

Velocidade no ponto C:

Vamos aplicar o princípio da conservação da energia:

T A + V A = T C + V C

1 2 m v A 2 - G M m r A = 1 2 m v c 2 - G M m r C

v A 2 2 - G M r A = v C 2 2 - G M r C

v C 2 = v A 2 + 2 G M 1 r C - 1 r A

v C 2 = 11165 2 + 2 ⋅ 398,1 × 10 12 1 42140 × 10 3 - 1 6670 × 10 3

v C 2 = 124,6 7 × 10 6 - 100,48 × 10 6

v C = 491 9   m / s

Passo 4

Agora que temos v C , podemos determinar o ângulo γ aplicando o princípio da conservação do momento angular.

r A m v A = r C m v C cos ⁡ γ

cos ⁡ γ = r A v A r C v C

cos ⁡ γ = 6670 × 10 3 ⋅ 11165 42140 × 10 3 ⋅ 4919

cos ⁡ γ = 0,35926

γ = 68,9 °

Resposta

γ = 68,9 °

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