Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

A plataforma está girando em torno do eixo vertical de modo que em qualquer instante a sua posição angular é θ = ( 4 t 3 / 2 ) , onde t é dado em segundos. Uma bola rola para fora ao longo do sulco radial de maneira que sua posição é dada por r = 0,1 t 3 , onde t é dado em segundos. Determine as intensidades da velocidade e aceleração da bola quando t = 1,5 s.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Posição angular da plataforma: θ = 4 t 3 / 2 rad;

Posição da bola: r = 0,1 t 3 m;

Para t = 1,5 s, devemos determinar a intensidade da velocidade e da aceleração da bola.

Vamos utilizar coordenadas polares para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar a intensidade da velocidade da bola.

Sabemos que, por definição, a velocidade em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme exibido abaixo:

v = v r 2 + v θ 2

Onde

v r = r ˙

v θ = r θ ˙

Logo, para encontrar o valor de v , precisamos definir quem são r ˙ e θ ˙ .

Sabendo que r = 0,1 t 3 , sua derivada temporal será

r ˙ = d r d t = 0,3 t 2

Sabendo que θ = 4 t 3 / 2 , sua derivada temporal será

θ ˙ = d θ d t = 6 t 1 / 2 = 6 t

Logo, as componentes radial e transversal da velocidade são:

v r = r ˙ = 0,3 t 2

v θ = 0,1 t 3 6 t = 0,6 t 7 / 2

A intensidade de v   é dada por

v = 0,3 t 2 2 + 0,6 t 7 2 2

v = 0,09 t 4 + 0,36 t 7

Em t = 1,5 s, obteremos

v = 0,09 ( 1,5 ) 4 + 0,36 ( 1,5 ) 7

v = 2,57   m / s

Passo 3

Agora vamos encontrar a intensidade da aceleração da bola.

Sabemos que, por definição, a aceleração em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme exibido abaixo:

a = a r 2 + a θ 2

Onde

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo, para encontrar o valor de a , precisamos definir quem são r ˙ , r ¨ , θ ˙ e θ ¨ .

Sabendo que r = 0,1 t 3 , suas derivadas temporais são

r ˙ = d r d t = 0,3 t 2

r ¨ = d 2 r d t 2 = 0,6 t

Sabendo que θ = 4 t 3 / 2 , suas derivadas temporais são

θ ˙ = d θ d t = 6 t 1 / 2 = 6 t

θ ¨ = d 2 θ d t 2 = 3 t - 1 / 2 = 3 t

Logo, as componentes radial e transversal da aceleração são:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 0,6 t - 0,1 t 3 6 t 2 = 0,6 t - 3,6 t 4

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0,1 t 3 3 t + 2 0,3 t 2 6 t = 0,3 t 5 2 + 3,6 t 5 2

A intensidade de a   é dada por

a = 0,6 t - 3 , 6 t 4 2 + 0,3 t 5 2 + 3,6 t 7 2 2

Em t = 1,5 s, obteremos

a = [ 0,6 ( 1,5 ) - 3 , 6 ( 1,5 ) 4 ] 2 + [ 0,3 ( 1,5 ) 5 2 + 3,6 ( 1,5 ) 7 2 ] 2

a = [ - 17,325 ] 2 + [ 10,7471 ] 2

a = 20,39   m / s 2

Resposta

v = 2,57   m / s

a = 20,4   m / s 2

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →