Enunciado

Determine a localização h do ponto em direção ao qual o arremessador deve lançar a bola de modo que ela atinja a mão do receptor. A bola é lançada com uma velocidade de 40   m / s .

Passo 1

Galera, pra gente descobrir essa localização h , primeiro temos que determinar em qual ângulo θ o arremessador joga a bola. Como temos todas as dimensões x e y da mão do receptor, será útil construirmos a equação da trajetória de um projétil desse tipo.

Começamos pela seguinte equação do movimento horizontal:

x = x 0 + v x t = x 0 + v 0 cos ⁡ θ t

t = x - x 0 v 0 cos ⁡ θ

Agora, a gente escreve a seguinte equação do movimento vertical:

y = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2 = y 0 - v 0   s e n   θ t - 1 2 g t 2

Só resta substituir a expressão de t já encontrada:

y = y 0 - v 0   s e n   θ x - x 0 v 0 cos ⁡ θ - 1 2 g x - x 0 v 0 cos ⁡ θ 2

y = y 0 - t g   θ x - x 0 - g sec 2 ⁡ θ 2 v 0 2 x - x 0 2

Então essa é a equação da trajetória da bola lançada da posição ( x 0 ,   y 0 ) com velocidade v 0 e fazendo um ângulo θ com a horizontal, beleza?

Passo 2

Nessa equação, podemos colocar x 0 = 0   m , y 0 = 0,6   m + 2,2   m = 2,8   m , v 0 = 40   m / s e g = 9,8   m / s 2 . Também já vamos substituir x = 20   m e y = 1   m , que são as coordenadas da mão do receptor, onde a bola acerta:

1 = 2,8 - t g   θ 20 - 0 - 9,8 sec 2 ⁡ θ 2 40 2 20 - 0 2

1 = 2,8 - 20   t g   θ - 1,225 sec 2 ⁡ θ

Lembrando que sec 2 ⁡ θ = 1 + t g 2 θ , temos:

1 = 2,8 - 20   t g   θ - 1,225 - 1,225   t g 2 θ

1,225   t g 2 θ + 20   t g   θ - 0,575 = 0

Aqui temos uma equação quadrática para resolver, e só consideraremos a raiz positiva:

t g   θ = 0,0287

θ = t g - 1 0,0287

θ = 1,64 °

Passo 3

Agora, considere o triângulo retângulo formado a partir do ângulo θ , o cateto horizontal de 20   m e o cateto vertical de medida y 0 - ( y + h ) , onde y 0 é a altura inicial de lançamento e y é a altura da mão do receptor. Então temos a seguinte relação:

t g   θ = y 0 - y - h 20 = 2,8 - 1 - h 20 = 1,8 - h 20

20   t g   θ = 1,8 - h

h = 1,8 - 20   t g   θ

Mas no passo anterior descobrimos que t g   θ = 0,0287 . Logo, teremos:

h = 1,2   m

Resposta

h = 1,2   m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Água escoa do bocal em A , que está 1,5m acima do solo. Determine as coordenadas do ponto de impacto do fluxo se a velocidade inicial da água é(a) v 0 = 14m / s e(b) v 0 = 18m / s .
Um atleta de salto em distância atinge a sua tábua de salto A com uma velocidade horizontal de 10m / s . Determine a componente vertical da velocidade v y do seu centro de gravidade na decolagem para
Prove o resultado de conhecimento geral que, para uma dada velocidade de lançamento v 0 , o ângulo de lançamento θ = 45 ° fornece a máxima distância horizontal R . Determine o alcance máximo. (Note qu
O centro de massa G de um atleta de salto em altura segue a trajetória mostrada. Determine a componente v 0 , medida no plano vertical da figura, da sua velocidade de impulsão e o ângulo θ se o ápice
Os movimentos x e y das guias A e B com ranhuras em ângulo reto controlam o movimento curvilíneo do pino P de conexão, que desliza nas duas ranhuras. Por um curto intervalo de tempo, os movimentos são