Enunciado

A polia é suportada por um pino de 25   m m de diâmetro. Se a polia se ajusta livremente no pino, determine a maior força P que pode ser aplicada à corda e ainda baixar o balde. O balde tem uma massa de 20   k g e o coeficiente de atrito estático entre a polia e o pino é μ s = 0,3 . Despreze a massa da polia e assuma que o cabo não desliza na polia.

Passo 1

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre dessa situação para entendermos a situação da nossa questão! Para a roldana e pro pino, temos:

Passo 2

Pra começar essa questão vamos analisar as forças atuando na roldana. No diagrama letra ( a ) podemos decompor a força P nas suas componentes horizontal ( P c o s 60 ° ) e vertical ( P s e n 60 ° ). O somatório das forças verticais e horizontais que atuam no corpo em equilíbrio deve ser igual a zero. Assim, assumindo que a direção positiva é para direita, temos:

∑ F x = 0

P c o s 60 ° - R x = 0

R x = 0,5 P

Agora, adotando como referencial positivo a direção para cima, temos:

∑ F y = 0

R y - P s e n 60 ° - 20 9,81 = 0

R y = 0,8660 P + 196,2

Passo 3

Uma vez que encontramos as componentes vertical e horizontal de R , podemos calcular o módulo dele. Assim,

R = R x 2 + R y 2 = 0,5 P 2 + 0,8660 P + 196,2 2

R = P 2 + 339,83 P + 38494,44

Passo 4

Vamos agora usar nossa velha amiga geometria plana no diagrama de corpo livre da letra ( b ) . Através do triângulo formado por R ,   F   e   N podemos encontrar o valor para o ângulo ϕ s . Vamos calculá-lo!

t a n ϕ s = μ s N N = μ s

t a n ϕ s = μ s

ϕ s = tan - 1 ⁡ μ s = tan - 1 ⁡ ( 0,3 )

ϕ s = 16,699 °

Assim, sabemos que o braço pro momento de R no ponto O passa a ser 12,5 s e n 16,699 ° m m . Usando esses resultados, vamos escrever a equação do momento em relação ao ponto O . O somatório de momentos para um sistema em equilíbrio, em relação a um ponto, deve ser igual a erro. Logo, assumindo com o sentido positivo anti-horário, temos:

∑ M O = 0

20 9,81 75 - P 2 + 339,83 P + 38494,44 12,5 s e n 16,699 ° - P 75 = 0

Resolvendo essa equação e escolhendo uma raiz tal que P < 20 ( 9,81 ) , temos:

P = 179   N

Resposta

A menor força P necessária para levantar o balde é igual a:

P = 179   N

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