Enunciado

Uma porta homogênea de massa m , altura h e largura w está encostada em uma parede para ser pintada. Pequenas ripas de madeira estão colocadas sob as quinas A ,   B e C . O atrito em C é desprezível, mas em A e B é suficiente para impedir que a porta deslize. Determine as componentes y e z das forças de reação em A e B e a força normal à parede em C .

Passo 1

Vamos começar enumerando as forças que estão envolvidas nessa questão. Além do peso no centro da porta, em cada um dos apoios A e B nós temos as componentes A x , A y , A z , B x , B y e B z , e só nos interessa calcular as componentes em y e z .

Já no ponto C nós temos uma força N normal à parede, que tem componentes N x e N y , queremos calcular as duas.

Como nós conhecemos o ângulo que a porta forma com a parede, já podemos escrever expressões para as duas componentes da normal:

N x = N sen ⁡ 35 °

N y = N cos ⁡ 35 °

E a partir daqui precisamos montar equações de equilíbrio que resolvam o problema.

Passo 2

Se tomarmos o eixo x como referência, todas as forças em A e B terão momento nulo, e a componente N x da normal também! Só ficaremos com o peso no centro da porta e a componente N y da normal.

A distância perpendicular do ponto de aplicação da força peso até o eixo x é:

d 1 = h 2 sen ⁡ 15 °

E a distância perpendicular do ponto de aplicação da componente N y é:

d 2 = h cos ⁡ 15 °

Agora sim, vamos calcular o momento:

∑ M x = 0

∑ M x = P d 1 - N y d 2 = 0

m g h 2 sen ⁡ 15 ° - N y h cos ⁡ 15 ° = 0

E com isso podemos calcular N y :

N y = m g sen ⁡ 15 ° 2 cos ⁡ 15 ° = 0,1340   m g

E com isso podemos calcular a normal N :

N y = N

N = 0,1340 m g cos ⁡ 35 ° = 0,1636   m g

E esse é nosso primeiro resultado.

Passo 3

Agora vamos escolher outros eixos que nos deem resultados úteis. Quando calculamos o momento em relação ao eixo z nós excluímos todas as forças em B , e as componentes A x e N y (cujas linhas de ação cruzam o eixo) e A z (que é paralela ao eixo).

A força peso também é paralela ao eixo, e por isso tem momento nulo. Ficamos então apenas com N x e A y :

∑ M z = N x h sen ⁡ 15 ° + A y w = 0

Como já podemos calcular N x essa equação pode ser resolvida para encontrar A y :

N x = N sen ⁡ 35 ° = 0,1636   m g sen ⁡ 35 ° = 0,09384   m g

Então:

A y = - 0,09384   m g h sen ⁡ 15 ° w = - 0,0243   m g   h w

Agora seguimos a mesma lógica para o momento em relação ao eixo y . Nesse caso só vão restar as forças N x , A z e P :

∑ M y = N x h cos ⁡ 15 ° + P w 2 - A z w = 0

A z = - N x   h cos ⁡ 15 ° - P w 2 - w

A z = 0,0906   m g h + m g w / 2   w

A z = m g 1 2 + 0,0906 h w

Passo 4

Beleza, conseguimos esses dois resultados usando o sistema de coordenadas do enunciado, em que a origem está sobre o ponto B . Agora vamos usar um sistema em que a origem está sobre o ponto A , e então fazer as mesmas contas.

Pronto, agora vamos calcular de novo os momentos em relação ao eixo z e ao eixo y :

∑ M z = 0

Dessa vez todas as forças em A se anulam, além do peso e das componentes B x e B z :

∑ M z = - B y w - N y w + N x h sen ⁡ 15 ° = 0

B y = N cos ⁡ 35 ° w - ( N sen ⁡ 35 ° ) ( h sen ⁡ 15 ° ) ( - w )

B y = - 0,1636   m g cos ⁡ 35 ° + 0,1636   m g sen ⁡ 35 ° h sen ⁡ 15 ° w - 1

B y = m g 0,0243 h w - 0,1340

E agora vamos olhar para o momento em relação ao novo eixo y . Nesse caso as forças em A também se anulam, além de B y , B x e N y :

∑ M y = B z w - m g h 2 + N x h cos ⁡ 15 ° = 0

B z = m g h 2 - ( N sen ⁡ 35 ° ) ( h cos ⁡ 15 ° ) w  

B z = m g h 2 - ( 0,1636 × m g × 0,5736 ) ( 0,9659 h ) w  

B z = m g h 2 - 0,0906 m g h w

B z = m g h w 1 2 - 0,0906

Agora sim, encontramos tudo o que procurávamos.

Resposta

A força normal em C é N = 0,1636   m g , e as componentes das forças em A e B são A y = - 0,0243   m g   h w , A z = m g 1 2 + 0,0906 h w , B y = m g 0,0243 h w - 0,1340 e B z = m g h w 1 2 - 0,0906 .

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