Enunciado

123- O elemento rígido A B C em formato de L é sustentado por uma rótula em A e por três cabos. Se um carregamento de 2000   N é aplicado em F , determine a tração em cada cabo.

Passo 1

Primeiramente vamos vetorizar as forças em cada cabo.

Considerando que duas forças saem de D teremos:

F D B = T 1 × 0.525 i - 0.6 j + 0.8 k 0.525 2 + 0.6 2 + 0.8 2 = T 1 ( 0.465 i - 0.531 j + 0.708 k )

F D C = T 2 × - 0.525 i - 0.6 j + 0.8 k 0.525 2 + 0.6 2 + 0.8 2 = T 2 ( - 0.465 i - 0.531 j + 0.708 k )

Agora falta a força que vamos considerar saindo de B e indo até E .

F B E = T 3 × 1.05 i - 0.8 k 1.05 2 + 0.8 2 = T 3 ( 0.795 i - 0.606 k )

Passo 2

Como vamos fazer a somatória dos momentos em D vamos calcular a distância relativa desse ponto até F e B e em A (que tem reação a força nos três sentidos). Pois F D B e F D C não fazem momento em D

r D F = 0.525 i - 0.6 j + 0.8 k

r D B = 1.05 i - 0.6 j + 0.8 k

r D A = 1.05 i - 0.6 j

Então o somatório dos momentos em D dará:

i j k 0.525 - 0.6 0.8 0 - 2000 0 + T 3 i j k 1.05 - 0.6 0.8 0.795 0 - 0.606 + i j k 1.05 - 0.6 0 A x A y A z = 0

O determinante dessas matrizes nos dará:

1600 i - 1050 k + T 3 0.364 i + 1.2723 j + 0.477 k +

- 0.6 A z i + 1.05 A y + 0.6 A x k - 1.05 A z j = 0

O que nos dá 3 equações para quatro incógnitas. Porém vamos utilizar a somatória das forças para conseguirmos resolver isso.

1600 - 0.6 A z + 0.364 T 3 = 0

1.2723 T 3 - 1.05 A z = 0

Por essas duas equações temos que:

T 3 = 4.41   k N

A z = 5.34   k N

- 1050 + 0.477 T 3 + 1.05 A y + 0.6 A x = 0

Passo 3

Pela somatória das forças temos:

A + F B E + F D B + F D C - 2000 j = 0

Isso nos dará:

A x i + A y j + A z k - 2000 j + T 3 0.795 i - 0.606 k + T 2 - 0.465 i - 0.531 j + 0.708 k + T 1 0.465 i - 0.531 j + 0.708 k = 0

A x + 0.795 T 3 - 0.465 T 2 + 0.465 T 1 = 0

A y - 200 0 - 0.531 T 2 - 0.531 T 1 = 0

A z - 0.606 T 3 + 0.708 T 2 + 0.708 T 1 = 0 → T 1 + T 2 = - 3.77   k N

Dessa última relação encontramos que:

A y = 0.531 T 2 + T 1 + 2000 = 0   k N

Então da última equação escrita do passo 2 temos:

- 1050 + 0.477 × 4.41 k N + 1.05 × 0 k N + 0.6 A x = 0

A x = - 1.76   k N

Então pela primeira equação desse sistema (nesse passo) teremos:

- 1.76 k N + 0.795 × 4.41 k N + 0.465 T 1 - T 2 = 0

T 1 - T 2 = - 3.75   k N

Isso nos dará:

T 1 = - 0.225   k N

T 2 = 3.525   k N

Resposta

T 3 = F B E = 4.41   k N

T 1 = F D B = - 0.225   k N

T 2 = F D C = 3.525   k N

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