Enunciado

O poste é feito de alumínio 6061 -T 6 e tem 50   mm de diâmetro. Está preso aos suportes A e B e em seu centro C há uma mola espiral acoplada ao colar rígido. Se a mola não estiver comprimida na posição original, determine as reações em A e B quando a força P = 40   kN é aplicada ao colar.

Passo 1

Um poste está mantido entre duas paredes: A e B . Em seu centro ( C ) , uma mola não deformada está acoplada até a extremidade B . Uma força P = 40   kN é aplicada em C para baixo.

Características do poste:

  • Alumínio 6061 -T 6 : E = 68,9   GPa. (Tabelado)
  • Diâmetro: d = 50   mm .
  • Comprimento inicial: L = 0,5   m .

Características da mola:

  • Rigidez: k = 200   MN/m .
  • Está não deformada antes de P aparecer.

O forçamento P = 40   kN vai comprimir a metade de baixo do poste ( C B ) e esticar a parte de cima ( A B ). Além disso, vai comprimir a mola também, então ela vai reagir com uma força.

Queremos descobrir as reações F A e F B .

Passo 2

Como sempre, se queremos forças então precisamos do diagrama de corpo livre.

Ah, só temos uma direção para trabalhar, aí fica fácil! Equilíbrio de forças:

∑ F = 0 → F A + F B + F C = P

A força F C é desenvolvida pela mola. Ela depende de o quanto a metade inferior do poste é comprimido. Vamos chamar esse deslocamento de δ B e substituir logo a relação linear da força de uma mola com rigidez k :

F A + F B + k   δ B = P

Três incógnitas e uma equação apenas! Vamos buscar mais delas pelas condições de compatibilidade.

Passo 3

Para a condição de compatibilidade, precisamos ver o quanto cada parte do poste é deformado e como. Vamos pegar uma seção acima de C e uma seção abaixo de C .

A força P puxa C para baixo, então dois efeitos irão ocorrer:

  • A seção superior ( A C ) sofre uma tração, alongando um comprimento δ A .
  • A seção inferior ( C B ) sofre uma compressão, diminuindo um comprimento δ B .

Pela fórmula da relação carga-deslocamento, podemos de cara já achar uma equação pra δ B :

δ = F   L A   E → δ B = F B ⋅ 0,25   m A   E  

Agora vem o grande macete desses exercícios. O poste está entre duas paredes rígidas! Então ele não pode ultrapassar elas. O resultado dos dois efeitos (aumentar e diminuir) tem que ser zero:

δ A - δ B = 0

F A ⋅ 0,25   m A   E = F B ⋅ 0,25   m A   E

F A = F B

Passo 4

Use as duas relações que achamos na equação que veio do equilíbrio.

F A + F B + k   δ B = P → F B + F B + k F B ⋅ 0,25   m A   E = P

A área do poste é A = π d 2 / 4 = 1963,50   mm 2 . Substituindo os valores:

2,369 F B = 40   kN

F B = 16,88   kN

F A = F B → F A = 16,88   kN

Resposta

Reações em A e B : F A = F B = 16,88   kN .

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