Enunciado

Um suporte para tubos apoiado por molas é composto por duas molas que, na posição original, não estão alongadas e têm rigidez k = 60 k N / m , três hastes de aço inoxidável 304 ,   A B   e   C D , com diâmetro de 5 m m e E F com diâmetro de 12 m m e uma viga rígida G H . Se o tubo e o fluido que ele transporta tiverem um peso de 4   k N , determine o deslocamento do tubo quando estiver acoplado ao suporte. .

Passo 1

Falaaa! Não se assusta com o desenho, tá? Temos um tubo, segurado por duas hastes. E essas duas, seguradas por uma haste só EF. Esse desenho do lado é só uma visão de outro ângulo da haste EF.

Desejamos encontrar o deslocamento total do tubo ao ser colocado acoplado ao suporte. Ele é suporado por várias hastes.

Precisamos lembrar, então, que o deslocamento devido alongamento nessas hastes é dado por

δ = F o r ç a   a p l i c a d a ⋅ ( c o m p r i m e n t o   e m   a n á l i s e ) M o d .   d e   e l a s t i c i d a d e ⋅ ( Á r e a   e m   a n á l i s e ) = P L E A

Além disso, para o axo inoxidável o módulo de elasticidade é tabelado e dado por 193   G P a .

Passo 2

Para usar essa fórmulinha precisamos das forças internas nas hastes. Vamos ter as seguintes equações devido ao equilíbrio:

  • Para o tubo
  • ∑ M a = 0 → F C d ⋅ 0,5 m - 4 k N ⋅ 0,25 m = 0 → F c d = 2,0   k N

    ∑ F y = 0 → F c d + F a b - P = 0 → F a b = 2,0   k N

  • Para a barra G H

∑ F y = 0 → F e f - F c d + F a b = 0 → F e f = 4,0   k N

A gente podia chegar nesses valores pela simetria da peça também. AB e CD dividem o peso da peça entre si. E EF suporta esse total.

Passo 3

Como estamos tratando de áreas de circunferências, elas serão dadas por

A = π 4 ⋅ d 2

Agora vamos entender a situação. O deslocamento do tubo vai ser influenciado diretamente pelo deslocamento em EF. Se o ponto E desce, o tubo também. Vamos calcular δ E então.

Aplicando a fórmula descrita no primeira passo vamos ter

δ e = F e f ⋅ 0,75 m E ⋅ A e f ≈ 0,13744   m m

Passo 4

Agora vamos olhar para o ponto D . Se ele desce, nosso tubo também desce. (pela simetria, ocorre o mesmo com B). Ele desce porque E desce, mas também por causa do comportamento da mola.

Talvez essa mola na figura tenha te assutado.

Mas relaxa. Ele está incialmente sem deformação. Quando a força é aplicada na haste CD, o ponto D desce´porque a força o puxa para baixo. E com isso, a mola é emprensada entre esse ponto e a haste rígida GH, causando uma deformação nela de x .

Essa deformação causada na mola é exatamente o valor que o ponto D vai descer, porque é a variação de comprimento entre a mola no ínicio e no final. Podemos encontrar esse valor pela fórmulinha:

F = k x → x = F k

Com isso podemos encontrar

δ d = δ e + F c d k ≈ 33,47077 m m

Passo 5

Belezinha. Olhamos o ponto D . AQueremos o deslocamento do ponto C , que está alinhado ao tubo. O deslocamento dele vai ser o que a gente achou para D mais o próprio alongamento de CD:

  δ c - d = F c d ⋅ 0,75 m E ⋅ A c d ≈ 0,39583   m m

Da simetria do problema teremos δ b = δ d   e   δ B - a = δ c - d . Sendo assim, nossa deformação total desejada será dada por

δ t o t = δ d + δ c - d = 33,8666   m m

Resposta

δ t o t = 33,8666   m m

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