Enunciado

Um suporte para tudos apoiado por molas é composto por duas molas que, na posição original, não estão alongadas e têm rigidez k   =   60   k N / m , três hastes de aço inoxidável 304 , A B   e   C D , com diâmetro de 5   m m   e   E F com diâmetro de 12   m m , e uma viga rígida G H . Se o tubo for deslocado 82   m m quando estiver cheio de fluido, determine o peso do fluido.

Passo 1

Falaaa! Tá bem?

Não se assusta com o desenho, tá? Temos um tubo, segurado por duas hastes. E essas duas, seguradas por uma haste só EF, e essa ligação acontece através do corpo rígido GH. Esse desenho do lado é só uma visão de outro ângulo da haste EF.

A gente quer encontrar o peso do nosso fluido dado o deslocamento total do tubo quando cheio de fluido.

Como o tubo é suportado por esse sistema de hastes verticais, o deslocamento total dele é resultado do alongamento dessas hastes quando submetidas a carga peso do fluído.

Precisamos lembrar, então, que o deslocamento devido alongamento em cada haste é dado por

δ = F o r ç a   n o r m a l   i n t e r n a ⋅ ( c o m p r i m e n t o   e m   a n á l i s e ) M o d .   d e   e l a s t i c i d a d e ⋅ ( Á r e a   e m   a n á l i s e ) = P L E A

Como essa expressão relaciona alongamento e carga aplicada, é através dela que a gente chega no peso do fluído. Vamos montá-la para cada hastezinha que a gente tem.

Além disso, precisamos saber que para o aço inoxidável o módulo de elasticidade é tabelado e dado por 193   G P a .

Vamos seguir!

Passo 2

Queremos descobrir P para cada haste que a gente tem.

Vamos olhar só para as hastes diretamente ligadas ao tubo:

Por simetria, cada uma vai suportar metade do peso do fluído, então

F A B = F B C = W 2

E haste E F

Por equilíbrio, a força normal interna nela é

F E F = W

Passo 3

Como estamos tratando de áreas de circunferências, elas serão dadas por

A = π 4 ⋅ d 2

Agora vamos entender a situação. O deslocamento do tubo vai ser influenciado diretamente pelo deslocamento em EF. Se o ponto E desce, o tubo também. Vamos calcular δ E então.

Aplicando a fórmula descrita no primeira passo vamos ter

δ e = F E F ⋅ L E F E ⋅ A e f

δ e = W ⋅ 0,75 m 193 G P a ⋅ π 12   m m 2 4    

Passo 4

Agora vamos olhar para o ponto D . Se ele desce, nosso tubo também desce. (pela simetria, ocorre o mesmo com B). Ele desce porque E desce, mas também por causa do comportamento da mola.

Talvez essa mola na figura tenha te assutado.

Mas relaxa. Ela está incialmente sem deformação. Quando a força é aplicada na haste CD, o ponto D desce porque a força o puxa para baixo. E com isso, a mola é emprensada entre esse ponto e a haste rígida GH, causando uma deformação nela de x .

Essa deformação causada na mola é exatamente o valor que o ponto D vai descer em relação ao ponto E , porque é a variação de comprimento entre a mola no ínicio e no final. Podemos encontrar esse valor pela fórmulinha:

F = k x → x = F k

Com isso podemos encontrar que o deslocamento do ponto D é dado pela soma entre o deslocamento de E e a deformação da mola:

δ d = δ e + F c d k

δ d = W ⋅ 0,75 m 193 G P a ⋅ π 12   m m 2 4 + W / 2 60   k N / m

Passo 5

Belezinha. Olhamos o ponto D . Agora queremos o deslocamento do ponto C , que está alinhado ao tubo. O deslocamento dele vai ser o que a gente achou para D mais o próprio alongamento de CD, dado por

  δ c - d = F c d ⋅ L c d E ⋅ A c d

δ c - d = W / 2 ⋅ 0,75 m 193 G P a ⋅ π 5   m m 2 4

Da simetria do problema teremos δ b = δ d   e   δ B - a = δ c - d . E temos que o ponto C está ainhado ao tubo, então o deslocamento de C é o deslocamento total do tubo. Sendo assim, nosso deslocamento total do tubo tem essa expressão:

δ t o t = δ d + δ c - d

δ t o t = W ⋅ 0,75 m 193 G P a ⋅ π 12   m m 2 4 + W / 2 60   k N / m + W / 2 ⋅ 0,75 m 193 G P a ⋅ π 5   m m 2 4

Passo 6

O enunciado diz que isso é igual a 82   m m . Substituindo e isolando W :

82   m m = W ⋅ 0,75 m 193 G P a ⋅ π 12   m m 2 4 + W / 2 60   k N / m + W / 2 ⋅ 0,75 m 193 G P a ⋅ π 5   m m 2 4

82   10 - 3 = W ⋅ 0,75 193 10 9 ⋅ π 12 10 - 3 2 4 + W 2 60 10 3 + W ⋅ 0,75 2 193 10 9 ⋅ π 5 10 - 3 2 4

W ≈ 9,69   k N

Resposta

W = 9,69   k N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O poste A de aço inoxidável 304 tem diâmetro d =50m m e está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400. Ambos estão apoiados sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força de 25k N à tampa
O poste A de aço inoxidável 304 está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400. Ambos estão apoiados sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força de 25k N à tampa rígida, determine o diâm
A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A-36. Se for submetida a uma força axial de 800k N , determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 1 / 4 da c
A carga de 4k N deve ser suportada pelos dois cabos verticais de aço para os quais σ e = 560M P a . Se os comprimentos originais dos cabos A B e A C forem 1.250m m e 1.252,5m m respectivamente, determ
O apoio é composto por um poste sólido de latão vermelho C83400 embutido em um tubo de aço inoxidável 304. Antes da aplicação da carga, a folga entre essas duas partes é 1m m . Dadas as dimensões most