Enunciado

No Prob. 1.1, determine a intensidade da força P para que a tensão de tração na barra AB tenha a mesma intensidade que a tensão de compressão da barra BC.

Passo 1

O problema pediu o valo da força P para que as tensões normais nas barras AB e BC sejam iguais. A gente sabe que a tensão normal é dada por:

σ = P A

Lembra que esse P da fórmula é diferente do P do problema. No problema é apenas uma força externa, na fórmula é a força interna que atua na barra (de tração ou compressão). Ambos os “P” podemos ser iguais ou não.

Se a gente quer que as tensões sejam iguais, então vamos ter algo da forma:

σ A B = σ B C

P A B A A B = P B C A A B

Passo 2

Vamos achar as forças internas P A B e P B C , para isso temos de achar a força F que atua em C e deixa a barra em equilíbrio:

Repare que aqui a força F foi colocada para baixo por uma questão de conveniência, porque a gente sabe que para equilibrar a barra a força deve ser apontada para baixo. Mas o sentido dessa força não importa, é pura convenção!! Caso o sentido esteja certo acharemos um valor positivo, caso esteja errado acharemos um valor negativo o que significa que o sentido deve ser trocado.

Como só temos forças na vertical vamos ter que o somatório das forças em y é igual a zero:

∑ F y = 0

Vamos considerar o sentido positivo para cima, logo teremos:

- P + 130 + 130 - F = 0

F = 260 - P

Passo 3

Vamos fazer o corte na barra AB para achar P A B

Para permanecer em equilíbrio e achar a P A B nós temos de adicionar a força interna:

Agora sim! A força que a gente realmente quer é a P A B que atua bem no corte! E não precisa de muito para ver que P = P A B (em módulo pelo menos né), além disso fica bem nítido que a barra está sob efeito de tração (olha como P e F “esticam” a barra).

Daí temos que P = P A B

Ficou meio esquisito (e óbvio) porque o problema fornece as mesmas letras para a fórmula e a força externa, mas nada demais também.

Passo 4

Agora vamos fazer os mesmos passos para achar a força P B C . Então primeiro vamos achar a força interna que atua na barra BC, para tanto vamos fazer um corte em BC:

Nós já sabemos que a força F = ( 260 - P ) k N , mas pelo desenho percebe-se que ainda falta aquela “forcinha” que atua no interior da barra né? Então vamos desenha-la

Chamei aqui a força que atua dentro da barra de P B C e é nítido que ela é igual a ( P + 40 ) k N , porque a barra permanece em equilíbrio:

∑ F y = 0

- P B C + 260 - P = 0

P B C = ( 260 - P ) k N

Passo 5

Agora que temos as forças internas, podemos voltar para a equação da tensão:

σ A B = σ B C

P A B A A B = P B C A A B

Onde:

P A B = P

P B C = 260 - P

A A B = π ⋅ 50 2 4

A B C = π ⋅ 75 2 4

Assim,

P π ⋅ 50 2 4 = 260 - P π ⋅ 75 2 4

Como π e 4 se encontram nas mesmas posições dos dois lados nós podemos cortá-los:

P 50 ² = 260 - P 75 ²

Passo 6

Resolvendo essa equação:

P 2500 = 260 - P 5625

Multiplicando cruzado

5625 ⋅ P = - 2500 ⋅ P + 2500 ⋅ 260

( 5625 + 2500 ) P = 650000

8 125 P = 650000

P = 650000 8 125 = 80   k N

Resposta

P = 80   k N

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