Enunciado

A luminária de 250   N é sustentada por três hastes de aço interligadas por um anel em A . Determine qual das hastes está submetida à maior tensão normal média e calcule seu valor. Considere θ   =   30 ° . O diâmetro de cada haste é dado na figura.

Passo 1

Fala aí galerinha do responde aí, bora pra outra questão.

Sabemos que a tensão da luminária é dada pelas três hastes e seu módulo pode ser dado pelo cálculo da força dividida pela área de cada uma das hastes, ou seja, temos que calcular a força em cada haste e dividir pelas respectivas áreas. O diagrama de corpo livre fica mais ou menos assim:

Primeiramente, vamos decompor as forças e aplicar as equações de equilíbrio:

∑ F x = 0

Como temos em x duas hastes prendendo vindo uma de casa lado, faremos a soma da força da primeira haste com a segunda haste. Acontece que, se adotarmos positivo o x para o lado direito, então a outra haste em x terá um valor negativo. Além disso, precisamos achar a decomposição da força em x, já que as hastes estão em diagonal. Logo, teremos que:

F x 1 * cos ⁡ θ - F x 2 * c o s ⁡ ( ∅ ) = 0

Logo,

F A c cos ⁡ θ - F A D cos ⁡ 45 = 0

E essas são as nossas forças que influenciam no entendimento do eixo x. Agora, vamos realizar a análise das forças no eixo y. No eixo y, nós temos a influência de 3 forças: a foça da haste da direita e a da esquerda, que assim como em x, também têm suas decomposições em y, e a força peso, que puxa a luminária para baixo. Vamos adotar o sentido para cima como positivo. Sendo assim, teremos a força peso negativa e o seguinte somatório:

∑ F y = 0

F A c s e n θ + F A D s e n 45 - W = 0

Temos um sistema de 2 equações e 2 incógnitas. Sabemos que W   é o peso da luminária e θ vale 30 graus, logo, resolvendo o sistema:

F A c cos ⁡ 30 - F A D cos ⁡ 45 = 0 F A c s e n 30 + F A D s e n 45 - W = 0

Resolvendo:

F A c * 3 2 - F A D 2 2   = 0 F A c 1 2   + F A D 2 2   - 250 = 0

Logo, encontramos pra esse sistema o valor de:

F A C = 183 N

F A D = 224,14 N

Passo 2

Agora, vamos calcular as áreas com base nos diâmetros fornecidos:

A A B = π d 2 4 = 63,61   m m ²

A A D = π d 2 4 = 44,17   m m ²

A A C = π d 2 4 = 28,27   m m ²

Por fim, basta fazer a força sobre a área e escolher o menor valor:

σ A B = W A A B   = 3,93 M P a

σ A D = F A D A A D = 5,07 M P a

σ A C = F A C A A C   = 6,47 M P a

Pronto, podemos ver que a maior tensão é a na haste A C .

Resposta

Podemos ver que a maior tensão é a na haste A C ,   pois: σ A C = 6,47 M P a

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