Enunciado

Para o Prob. 2.72, determinar as forças que poderão ser aplicadas nas extremidades A e D da barra para que:

  1. A deformação axial, na porção AB da barra, permaneça nula enquanto a pressão hidrostática estiver aplicada;
  2. O comprimento total da barra AD permaneça invariável.

Passo 1

Perceba que o enunciado basicamente quer que trabalhemos apenas com forças e deformações na direção y, ou seja, podemos escrever uma equação na direção y e usar ela tanto nos itens A quanto no item B. sendo assim teremos a seguinte conta:

ε y = σ y E - ϑ σ x E - ϑ σ z E

Sabemos que:

σ x = σ z = - P

E como queremos que a estrutura tenha forças na direção y, podemos definir que:

σ y ≠ 0

Substituindo teremos que:

ε y = σ y E - ϑ - P E - ϑ - P E = 2 ϑ P + σ y E

Agora vamos para cada um dos nossos problemas.

Passo 2

No item A deseja-se que a deformação do trecho AB seja zero quando a carga de pressão está aplicada, sendo assim basta igualarmos a nossa equação a zero, e com isso teremos que:

0 = 2 ϑ P + σ y E

σ y = - 2 ϑ P

Substituindo pelos dados do enunciado teremos que:

σ y = - 2   .     0,36   .     40   M P a = - 28,8   M P a = - 28,8 N m m 2

Como queremos a força, temos que a área é dada por:

A = π D 2 4 = π 38 2 4 = 1134,115   m m 2

E sabemos que a força é dada por:

F = σ y A = - 28,8 N m m 2   .   1134,115   m m 2 = - 32662,5   N = - 32,66   k N   ( c o m p r e s s ã o )

Passo 3

Nesse item queremos que o comprimento da barra permaneça inalterado, correto? E para isso precisamos garantir que o somatório de deformação de todos os trechos seja igual.

Sabemos que a nossa barra nesse sentido tem 3 trechos (AB, BC e CD).

Sabemos que os trechos AB e CD só terão agindo neles as forças que aplicarmos nas suas extremidades, ou seja, podemos garantir que a deformação nesses dois trechos será dada por:

ε y ( A B ) = ε y ( C D ) = σ y E

Já a deformação do trecho BC já é a nossa velha e conhecida equação achada lá no início dada por:

ε y ( B C ) = 2 ϑ P + σ y E

E sabemos que a deformação total da estrutura tem que ser zero, sendo assim podemos escrever:

δ t o t a l = L A B ε y ( A B ) + L B C ε y ( B C ) + L C D ε y ( C D ) = 0

( L A B + L C D ) ε y ( A B + C D ) + L B C ε y ( B C ) = 0

100 + 100 σ y E + 300   .   2 ϑ P + σ y E = 0

200 σ y E + 600 ϑ P E + 300 σ y E = 0

500 σ y E + 600 ϑ P E = 0

500 σ y + 600 ϑ P = 0

σ y = - 600 ϑ P 500 = - 600   .     0,36   .     40 500 = - 17,28   M P a

Como queremos a força, temos que a área é dada por:

A = π D 2 4 = π 38 2 4 = 1134,115   m m 2

E sabemos que a força é dada por:

F = σ y A = - 17,28 N m m 2   .   1134,115   m m 2 = - 19597,5 N = - 19,6   k N   ( c o m p r e s s ã o )

Resposta

  1. F = - 32,66   k N   ( c o m p r e s s ã o )
  2. F = - 19,6   k N   ( c o m p r e s s ã o )
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