Enunciado

O cilindro circular homogêneo do Prob. 8/93, reapresentado aqui, rola sem deslizar sobre a trajetória de raio R. Determine o período τ para pequenas oscilações.

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão o que é mais complicado é enxergar o que está acontecendo e associar isso ao método de energia. Vamos então por partes:

Como sabemos, em um movimento harmônico simples, a energia é um balanço entre a energia cinética e a energia potencial, como mostra a equação:

E = T + V

Como o sistema é conservativo, a energia total E é uma constante. Além disso, nós temos que quando a energia cinética é máxima, a energia potencial é nula, e vice versa. Veja só:

Q u a n d o   T → m a x ,   e n t ã o   V = 0   e   E = T

Q u a n d o   V → m a x ,   e n t ã o   T = 0   e   E = V

Consideramos que a energia cinética é máxima no instante inicial do sistema, isto é, θ = 0 , pois a roda está no seu ponto mais baixo. Então, quando:

θ = 0   → V = 0

Agora, vamos voltar para a equação do movimento harmônico e escrever de uma maneira mais completa de acordo com a questão.

E = T + V

Onde a energia cinética é composta pela energia cinética rotacional 1 2 I ω 2 e pela energia cinética de translação 1 2 m v G 2 .

A velocidade do centro de massa pode ser obtida na condição inicial, quando a roda está no ponto mais baixo:

v G = R - r θ ˙

E a velocidade angular pode ser obtida pelo centro instantâneo de velocidade nula, que está localizado no ponto de contato da roda com o chão (uma vez que não há deslizamento). Temos então:

ω = v G r = R - r θ ˙ r

Agora, a energia potencial neste caso é apenas gravitacional e pode ser escrita por:

V = m g ( R - r ) 1 - c o s θ

A parte do ( 1 - c o s θ ) é obtida pelo fato de que quando θ = 0   → V = 0 , pois a roda está no ponto mais baixo.

Beleza!! Agora vamos substituir os valores:

E = 1 2 I R - r θ ˙ r 2 + 1 2 m R - r θ ˙ 2 + m g ( R - r ) 1 - c o s θ

Para uma roda, I = 1 2 m r 2 , logo:

E = 1 4 m r 2 R - r θ ˙ r 2 + 1 2 m R - r θ ˙ 2 + m g ( R - r ) 1 - c o s θ

E = 3 4 m R - r θ ˙ 2 + m g ( R - r ) 1 - c o s θ

Como d E d t = 0 :

3 2 m R - r 2 θ ˙ θ ¨ + m g R - r θ ˙ s e n θ = 0

Para ângulos muito pequenos, vale a aproximação:

s e n θ = θ

Portanto, substituindo e simplificando:

3 2 ( R - r ) θ ¨ + g θ = 0

Arrumando a equação para o termo a segunda ficar com o coeficiente unitário, temos:

θ ¨ + 2 3 g R - r θ = 0

Agora temos uma equação nos moldes da equação do movimento harmônico. Com isto, sabemos a frequência natural:

ω n = 2 3 g R - r

O período do movimento pode ser associado à frequência natural pela equação:

ω n = 2 π τ → τ = 2 π ω n

Agora é só substituir:

τ = 2 π 2 3 g R - r

τ = π 6 R - r g  

Resposta

τ = π 6 R - r g  

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