Enunciado

Ao projetar a prensa de alternância mostrada, n voltas do eixo sem-fim A seriam necessárias para produzir uma volta das rodas sem-fim B que operam as manivelas BD. O aríete móvel tem massa m. Despreze qualquer atrito e determine o torque M no eixo sem-fim necessário para gerar uma força compressiva C na prensa para a posição θ = 90 ∘. (Observe que os deslocamentos virtuais do aríete e do ponto D são iguais para a posição θ = 90 ∘.)

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de força ativa

Uma vez que sabemos que leva n voltas do eixo A para fazer uma volta em B. é claro que o ângulo α é n vezes maior que o ângulo θ

α = n θ

Derive ambos lados da equação

δ α = n δ θ

Comprimento dp membro B D é B D - = r , para rotação do ângulo θ movimento virtual do ponto D é

y D = r s i n ⁡ θ

Como os movimentos virtuais dos pontos D e C (ram com peso mg) são iguais para θ = 90 ∘, podemos escrever yC como

y C = y D = r s i n ⁡ θ

Mudança infinitesimal na posição do carneiro é

δ y C = r c o s ⁡ θ δ θ

Passo 2

O Trabalho Virtual realizado pelo casal M é produto da Rotação Virtual \ deltaa e momento que a força produz

δ U M = M δ α

Substitua δ α por n δ θ

δ U M = M n δ θ (1)

Podemos Trabalho Virtual feito pelas forças mg e C como

δ U m g ⋅ c = ( m g - C ) δ y c

Substituiremos δ y C por r c o s ⁡ θ δ θ

δ U m g , C = ( m g - C ) r c o s ⁡ θ δ θ (2)

Passo 3

A seguir, vamos aplicar o Princípio do Trabalho Virtual, que afirma que a soma do trabalho realizado por todas as forças ativas é igual a zero

δ U   = 0 δ U M + δ U m g C = 0

Substituiremos δ U M e δ U m g , C pelas expressões ( 1 ) e ( 2 ) respectivamente

M n ⁡ δ θ + ( m g - C ) r c o s ⁡ θ δ θ = 0   / ⋅ 1 δ θ

Dividiremos ambos lados da equação por δ θ

M n + ( m g - C ) r c o s ⁡ θ = 0 M n = ( C - m g ) r c o s ⁡ θ

A partir daqui expressaremos M como

M = r n ( C - m g ) c o s ⁡ θ

Por fim, substituiremos θ por seu valor

M = r n ( C - m g ) c o s ⁡ 90 ∘   M = r n ( C - m g )

Resposta

M = r n ( C - m g )

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