Enunciado

Os projetistas de mecanismos de lâmpadas, como o mostrado na figura, geralmente contam com a fricção das juntas para ajudar a manter o equilíbrio estático. Para o presente problema, suponha que exista atrito suficiente no ponto C para evitar a rotação lá, mas ignore o atrito em todas as outras juntas. Se a massa do suporte da lâmpada for 0,6 kg com centro de massa em G, determine a força da mola FS necessária para o equilíbrio na posição mostrada.

Passo 1

Primeiro, vamos isolar e desenhar o diagrama de corpo livre da luminária de 0,6 kg e membro CG, com as forças dos membros BC e CD atuando nele

Observe que há um par de forças de atrito agindo na junta C impedindo que o acessório gire

O peso da lâmpada é:

W = m g W = 0.6 ⋅ 9.81 W = 5 . 886   N

O ângulo que os membros BC e CD fazem com a horizontal é:

α = t a n - 1 ⁡ 32.5 60 α = 28.44 ∘

Passo 2

Ao igualar a soma das forças na direção x a zero, podemos encontrar a relação entre as forças BC e CD

∑ F x = 0

C D c o s ⁡ 28.44 ∘ - B C c o s ⁡ 28.44 ∘ = 0 / ⋅ 1 cos ⁡ 28.44 ∘ C D - B C = 0 C D = B C

Ao igualar a soma das forças na direção y a zero, podemos determinar as forças BC e CD

∑ F y = 0

B C s i n ⁡ 28.44 ∘ + C D ⏞ = B C s i n ⁡ 28.44 ∘ - 5.886 = 0 B C = 5.886 2 s i n ⁡ 28.44 ∘ B C = 6.18 N

Umas vez que as forças BC e CD são iguais

⇒ C D = 6.18 N

A seguir, vamos analisar a junta B para determinar as forças nos membros AB e BD

∑ F x = 0

- A B c o s ⁡ 15 ∘ + 6.18 c o s ⁡ 28.44 ∘ = 0 A B = 6.18 c o s ⁡ 28.44 ∘ cos ⁡ 15 ∘ A B = 5.63 N

∑ F y = 0

A B s i n ⁡ 15 ∘ + B D - 6.18 s i n ⁡ 28.44 ∘ = 0 B D = 6.18 s i n ⁡ 28.44 ∘ - A B s i n ⁡ 15 ∘

Recoloque AB com seu valor

B D = 2.94 - 5.63 s i n ⁡ 15 ∘ B D = 1.49 N

Passo 3

Finalmente, vamos isolar e desenhar o diagrama de corpo livre do membro DEF

Observe que a distância entre os pontos A e F é igual à distância entre os pontos B e D

Uma vez que o membro DF faz com o ângulo horizontal de 15°, ele faz com o ângulo vertical de 75 ∘, ou seja, 105 ∘

Usando a regra do cosseno, calcularemos a distância entre os pontos A e E

A E - 2   = 65 2 + 225 2 - 2 ⋅ 65 ⋅ 225 c o s ⁡ 105 ∘ A E - 2   = 62 420 . 46 A E →   = 62 420 . 46 = 249.84   m m

Usando a regra do seno, podemos determinar o ângulo β que a mola faz com o membro DEF

sin ⁡ β 65 = sin ⁡ 105 ∘ A E ¯ s i n ⁡ β = 65 s i n ⁡ 105 ∘ A E ¯

Recoloque AE como seu valor

s i n ⁡ β = 65 s i n ⁡ 105 ∘ 249.84 = 0.2513 β = a r c s i n ⁡ ( 0.2513 ) β = 14.55 ∘

Passo 4

Equacionando a soma dos momentos sobre o ponto F a zero, podemos determinar a força FS

∑ M F = 0

225 F S s i n ⁡ β - 450 B D c o s ⁡ 15 ∘ - 450 C D s i n ⁡ 43.44 ∘ = 0

Substitua β, BD e CD por seus valores

225 F S s i n ⁡ 14.55 ∘ - 450 ⋅ 1.49 c o s ⁡ 15 ∘ - 450 ⋅ 6.18 s i n ⁡ 43.44 ∘ = 0 56.53 F S - 2559.85 = 0 F S = 2559.85 56.53

Finalmente, a força da mola necessária para manter o sistema em equilíbrio é:

F S = 45.28 N

Resposta

F S = 45.28 N

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