Enunciado

Um projeto preliminar para o uso de uma viga de madeira prismática em balanço indicou que seria necessária uma viga com seção transversal retangular com 50,8 mm de largura e 254 mm de altura para suportar com segurança a força mostrada na parte a da figura. Foi decicido então substituir essa viga por uma viga composta obtida colando-se, conforme mostra a parte b da figura, cinco peças da mesma madeira da viga original e de seção de 50,8 x 50,8 mm. Determine os comprimentos respectivos l 1 e l 2 das duas peças internas e externas de madeira que resultarão em um coeficiente de segurança igual ao do projeto original.

Passo 1

Beleza! Nesse exercício não precisamos encontrar nenhuma reação de apoio para o sistema. Então nós vamos desenhar o diagrama de corpo livre para uma seção da viga com comprimento x, então teremos:

Agora, para esse DCL, vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto F, para encontrar uma expressão para o momento M, então teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

P x + M = 0 → M = - P x

Passo 2

Com a equação do momento encontrada no passo 1, podemos encontrar os momentos nos pontos B, D e C. Começando pelo ponto B, que está na extremidade, sabemos que teremos o momento máximo nesse ponto, então temos:

M B = M m a x

Agora vamos escrever os momentos para os pontos D e C em função do momento máximo do ponto B, dessa forma, começando por D, teremos:

M D = M m a x x D 1,905

E, para o ponto C teremos:

M C = M m a x x C 1,905

Agora, lembrando que o módulo de resistência W para uma seção transversal retangular é dado por:

W = b h 2 6

Nós vamos calcular o módulo de resistência para os 3 diferentes trechos da viga da parte (b), cada uma com uma altura diferente h. Então, para a seção entre os pontos D e B, onde temos 5 vigas, teremos:

W D B = b 5 b 2 6 → W B = 25 b 3 6

Agora para a seção entre C e D, onde temos 3 vigas, nosso módulo de resistência será:

W C D = b 3 b 2 6 = 9 b 3 6 → W C D = 3 b 3 2

E, por fim, a seção entre os pontos A e C, onde temos somente uma viga:

W A C = b b 2 6 → W A C = b 3 6

Passo 3

Agora, vamos utilizar a equação 5.18 vista nessa seção para escrever o módulo de resistência da viga, que será dado por:

W = M σ a d m

O enunciado nos pede que tenhamos o mesmo coeficiente de segurança para todas as seções da viga, dessa forma, devemos ter a mesma tensão admissível em todas as partes. Então vamos comparar a tensão admissível da seção mais espessa, DB, com as outras duas. Então, isolando a tensão admissível da equação de cima, temos:

σ a d m = M W

Agora, igualando essa tensão nos trechos DB e CD, teremos:

σ D B = σ C D → M B W D B = M D W C D

Substituindo as expressões que encontramos no passo 2, teremos:

M m a x 25 b 3 6 = M m a x x D 1,905 3 b 3 2 → 6 M m a x 25 b 3 = 2 M m a x x D 3 b 3 1,905 → 6 25 = 2 x D 3 1,905

Isolando x D dessa equação, teremos:

x D = 3 ( 6 ) 1,905 2 ( 25 ) → x D = 0,6858   m

Então, como nosso sistema está orientado da esquerda para a direita, e o comprimento l 2 é medido da direita para a esquerda, basta subtrair o valor de x D encontrado do valor total do comprimento da viga, ou seja:

l 2 = 1,905 - 0,6858 → l 2 = 1,2192   m

Passo 4

Agora, igualando a tensão admissível nos trechos DB e AC, teremos:

σ D B = σ A C → M B W D B = M C W A C

Substituindo as expressões que encontramos no passo 2, teremos:

M m a x 25 b 3 6 = M m a x x C 1,905 b 3 6 → 6 M m a x 25 b 3 = 6 M m a x x C b 3 1,905 → 1 25 = x C 1,905

Isolando x C dessa equação, teremos:

x C = 1,905 ( 25 ) → x C = 0 , 0762   m

Então, como nosso sistema está orientado da esquerda para a direita, e o comprimento l 1 é medido da direita para a esquerda, basta subtrair o valor de x C encontrado do valor total do comprimento da viga, ou seja:

l 1 = 1,905 - 0,0762 → l 1 = 1,8288   m

Resposta

l 1 = 1,8288   m

l 2 = 1,2192   m

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Resolva o P r o b l e m a4.16 considerando que d = 40 m m .
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