Enunciado

No projeto de um teste de atrito, o eixo A é frouxamente preso ao mancal da biela, que tem centro de gravidade em G , como mostrado. Com a biela inicialmente na posição vertical, o eixo é girado lentamente até que a biela escorregue em um ângulo α . Escreva uma expressão exata para o coeficiente de atrito μ .

Passo 1

O eixo A deve aplicar sobre o mancal uma resultante R , composta pelo atrito e pela força normal. Essa resultante R deve fazer com a normal à superfície de contato o ângulo de atrito ϕ , que possui relação com o coeficiente de atrito dado pela fórmula:

μ = tan ⁡ ϕ

Pelo equilíbrio do eixo, essa força deve R ser para cima,para suportar seu peso. Vamos representar então a força peso P e R :

Passo 2

No limiar do movimento, ainda há equilíbrio, então as duas forças são iguais e o momento em torno do centro do eixo deve ser zero. A distância da linha de ação de R até o centro é r sen ⁡ ϕ e a distância horizontal entre G e centro do eixo é r - sen ⁡ α . Então:

∑ M = 0 ⇒ R r sen ⁡ ϕ = P r - sen ⁡ α

Como as forças são iguais, cortamos as duas:

r sen ⁡ ϕ = r - sen ⁡ α

Então obtemos o seno do ângulo de atrito:

sen ⁡ ϕ = r - sen ⁡ α r = 2 r - sen ⁡ α d

Passo 3

Como μ = tan ⁡ ϕ , vamos achar a tangente através do seno. Pela relação fundamental trigonométrica:

sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 ⇒ cos 2 ⁡ ϕ = 1 - sen 2 ⁡ ϕ ⇒ cos ⁡ ϕ = 1 - sen 2 ⁡ ϕ

Então:

μ = tan ⁡ ϕ = sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ = sen ⁡ ϕ 1 - sen 2 ⁡ ϕ

Dividindo em cima e em baixo por sen ⁡ ϕ :

μ = 1 1 sen 2 ⁡ ϕ - 1 = 1 d 2 r - sen ⁡ α 2 - 1

Resposta

μ = 1 d 2 r - sen ⁡ α 2 - 1

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