Enunciado

Prove o resultado de conhecimento geral que, para uma dada velocidade de lançamento v 0 , o ângulo de lançamento θ = 45 ° fornece a máxima distância horizontal R . Determine o alcance máximo. (Note que esse resultado não se aplica quando o arrasto aerodinâmico é incluído na análise.)

Passo 1

Pessoal, quando estamos lidando com movimento de projétil, podemos considerar as seguintes equações:

1         v x = v 0 cos ⁡ θ

2         v 0 y = v 0   s e n   θ

3           x t = v x t

4         v y t = v 0 y - g t

Vamos isolar a variável t nas equações ( 3 ) e ( 4 ) :

t = x t v x                     e                     t = v 0 y - v y t g

Passo 2

Agora, consideremos o instante t em que o projétil retorna ao solo. Teremos então x t = D , que é o alcance, e v y t = - v 0 y , pois a velocidade terá o mesmo módulo mas com sentido inverso ao inicial. Ou seja, teremos:

t = D v x = v 0 y - - v 0 y g = 2 v 0 y g

D = 2 v x v 0 y g

Usando as equações ( 1 ) e ( 2 ) , obteremos:

D = 2 v 0 cos ⁡ θ v 0   s e n θ g = v 0 2 g 2   s e n   θ cos ⁡ θ

D = v 0 2 g s e n 2 θ

Passo 3

Portanto, o alcance D será máximo quando s e n ( 2 θ ) for máximo, já que os outros fatores são constantes. Mas o máximo de s e n ( 2 θ ) é 1 , que ocorre quando:

2 θ = 90 °

θ = 45 °

Além disso,

R = v 0 2 g   .   1 = v 0 2 g

Resposta

R = v 0 2 g

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