Enunciado

22. Uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta está sujeita a uma desaceleração a = - 2 v 3   m / s 2 , onde v é dado em m/s. Se ela tem uma velocidade v = 8 m / s e uma posição s = 10 m quando t = 0 , determine sua velocidade e posição quando t = 4 s .

Passo 1

Sabemos a partir da cinemtática escalar que a velocidade e aceleração de uma partícula são dadas por:

a = d v d t

v = d s d t

A partir daí, podemos isolar dt nas duas expressões:

d t = d v a

d t = d s v

Combinando as duas expressões de dt vem:

d v a = d s v

a   d s = v   d v

Que é uma expressão muito pertinente na resolução da maior parte dos exercícios deste capitulo.

Passo 2

Como a aceleração é uma função da velocidade nesse caso, podemos escrever a expressão obtida da seguinte forma:

d s = v d v a

d s = v d v - 2 v 3

d s = - 1 2 v - 2 d v

∫ 10 s d s = - 1 2 ∫ 8 v v - 2 d v

s 10 s = - 1 2 - 1 v 8 v

s - 10 = - 1 / 2 - 1 v - - 1 8

s - 10 + 1 16 = 1 2 v

s - 159 16 = 1 2 v

16 s - 159 16 = 1 2 v

v = 8 16 s - 159

Passo 3

Sabemos que a velocidade se relaciona com a posição da seguinte forma:

v = d s d t

d t = d s v

Substituindo a expressão de v em função de s encontrada:

d t = d s 8 16 s - 159

d t = 16 s - 159 8 d s

∫ 0 4 d t = 1 8 ∫ 10 s 16 s - 159 d s

t 0 4 = 1 8 8 s 2 - 159 s 10 s

4 - 0 = 1 8 8 s 2 - 159 s - 8 10 2 - 159 10

4 = 1 8 8 s 2 - 159 s + 790

8 s 2 - 159 s + 758 = 0

Logo, quando t = 4s a posição da partícula é obtida a partir de uma das soluções da equação de segundo grau acima. Ao resolver a mesma encontramos que s = 11,9 m .

Passo 4

Substituindo o valor de s encontrado na expressão da velocidade:

v = 8 16 ( 11,9 ) - 159 = 0,25 m s

Resposta

v = 0,25   m / s

s = 11,9 m

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