Enunciado

Para reduzir o momento indesejável em relação ao eixo x , um mecânico usa sua mão esquerda para sustentar o cabo da chave no ponto B . Que força direcionada para cima, F , deve ser exercida para que não haja momento em relação ao eixo x ? Qual é, então, o momento resultante em relação a O ?

Passo 1

Vamos pensar na definição de momento de uma força:

M → = r → × F →

Primeiro precisamos calcular o momento gerado pela força de 40   N . O vetor posição r → que liga o ponto O e o ponto A onde a força é aplicada pode ser escrito da seguinte forma:

r → = 225   i ^ + 300   k ^ m m

E agora é interessante reescrever a equação do momento da seguinte forma:

M → = 225   i ^ + 300   k ^ × ( - 40   j ^ )

E podemos usar a propriedade distributiva do produto vetorial:

M → = 225   i ^ ×   - 40   j ^ + ( 300   k ^ ×   - 40   j ^ )

M → = - 9   000   k ^ + 12   000   i ^   N   m m

M → = 12   i ^ - 9   k ^   N   m

Passo 2

E a nossa ideia é que a força F → anule perfeitamente o momento em torno do eixo x , e portanto ela precisa ser simétrica à componente x do momento que acabamos de calcular:

M → x = - 12   i ^

r → × F → x = - 12   i ^

Aquele índice x no parênteses está ali para lembrar de que essa igualdade se refere apenas à componente x do momento.

E o vetor posição da força F → (veja o desenho) pode ser escrito da seguinte forma:

r → = 0,100   i ^ + 0,150   k ^

E o vetor da força é:

F → = F   j ^

r → × F → = 0 , 100   i ^ + 0 , 150   k ^ × F   j ^

r → × F → = 0,100   i ^ × F   j ^ + 0,150   k ^ × F   j ^

r → × F → = 0,100 F   k ^ + - 0,150 F   i ^

Beleza, então a componente na direção do eixo x é - 0,150   F :

- 0,150   F = - 12

F = 80   N

Passo 3

Ok, já respondemos a primeira pergunta. E agora que sabemos o módulo da força F podemos calcular o momento total em relação a O :

M → 1 = 12   i ^ - 9   k ^   N   m

M → 2 = 0,100 F   k ^ + - 0,150 F   i ^ = 8   k ^ - 12   i ^ N m

Agora é só somar os dois momentos:

M → O = M → 1 + M → 2

M → O = 12 - 12 i ^ + 8 - 9 k ^

M → O = - 1   k ^   N m

Resposta

O módulo da força deve ser F = 80   N , e o momento total em relação ao ponto O será M → O = - 1   k ^   N m .

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